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  山东大学学报(工学版)  2017, Vol. 47 Issue (4): 25-30  DOI: 10.6040/j.issn.1672-3961.0.2016.256
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引用本文 

裴小兵, 陈慧芬, 张百栈, 陈孟辉. 改善式BVEDA求解多目标调度问题[J]. 山东大学学报(工学版), 2017, 47(4): 25-30. DOI: 10.6040/j.issn.1672-3961.0.2016.256.
PEI Xiaobing, CHEN Huifen, ZHANG Baizhan, CHEN Menghui. Improved bi-variables estimation of distribution algorithms for multi-objective permutation flow shop scheduling problem[J]. Journal of Shandong University (Engineering Science), 2017, 47(4): 25-30. DOI: 10.6040/j.issn.1672-3961.0.2016.256.

基金项目

天津市哲学社会科学基金资助项目(TJYY15-024)

作者简介

裴小兵(1965—),男,内蒙古呼和浩特人,教授,博士,主要研究方向为调度算法.E-mail:peixiaobing100@qq.com

通讯作者

陈慧芬(1991—),女,河南周口人,硕士研究生,主要研究方向为调度算法.E-mail: chenhuifen321@foxmail.com

文章历史

收稿日期:2016-07-14
网络出版时间:2017-04-11 22:40:03
改善式BVEDA求解多目标调度问题
裴小兵1, 陈慧芬1, 张百栈2, 陈孟辉2     
1. 天津理工大学管理学院, 天津 300384;
2. 南昌大学软件学院, 江西 南昌 330031
摘要:针对以最小化最大完工时间、最小化最大拖期和最小化总流程时间为目标的置换流水车间调度问题(permutation flow shop scheduling problem, PFSP), 基于双变量分布估计法(bi-variable estimation of distribution algorithm, BVEDA)提出改善式双变量分布估计算法(Improved BVEDA, IBVEDA)进行求解。利用BVEDA中双变量概率模型进行区块构建, 根据组合概率公式进行区块竞争和区块挖掘, 借用高质量的区块组合人造解, 提高演化过程中解的质量; 针对算法多样性较差的特点, 设计在组合人造解的过程中加入派工规则最短处理时间、最长处理时间和最早交货期, 将上述方法并行演化, 通过top10的权重适度值总和动态调整上述方法处理的解的数量, 最后利用帕累托支配筛选和保存非支配解。试验使用C++代码在Taillard标准算例上测试, IBVEDA与SPGAⅡ和BVEDA比较, 并绘制解的分布图证实算法的有效性。
关键词多目标优化    置换流水车间调度    双变量分布估计算法    概率模型    派工规则    
Improved bi-variables estimation of distribution algorithms for multi-objective permutation flow shop scheduling problem
PEI Xiaobing1, CHEN Huifen1, ZHANG Baizhan2, CHEN Menghui2     
1. School of Management, Tianjin University of Technology, Tianjin 300384, China;
2. School of Software, Nanchang University, Nanchang 330031, Jiangxi, China
Abstract: Aiming at permutation flow shop scheduling problem(PFSP) with the minimum maximum makespan, the minimum maximum tardiness and the minimum total flow time as objectives, improved bi-variable estimation of distribution algorithm(IBVEDA) based on bi-variables estimation of distribution algorithm(BVEDA) was proposed. Building blocks was designed using bi-variable probability model of IBVEDA, according to combination probability formula for block competition and block mining, then artificial chromosomes were generated using high quality blocks to improve the quality of solution in the evolution process. To enhance the diversity of algorithm, dispatching rules, the shortest processing time, longest processing time, earliest due date were added in parallel evolution while injecting artificial chromosomes, the number of individual for next iteration processed by the methods above depended on the above methods' top 10 total weighted fitness of last iteration to do dynamic adjustment, finally Pareto dominance was used to select and save non-dominated solutions. The experiment used C++ code tested on Taillard's standard instances, IBVEDA was compared with SPGAⅡand BVEDA and solution distribution of the three algorithms were plot which the effectiveness of IBVEDA was validated.
Key words: multi-objective optimation    permutation flow shop scheduling    bi-variables estimation of distribution algorithm    probability model    dispatching rules    
0 引言

三目标流水车间调度问题常见目标有最小化完工时间、拖期、总流程时间、平均流程时间等, 属于多目标优化问题。三目标流水车间调度问题研究少之又少, 一方面由于流水车间调度问题自身的复杂性, 另一方面由于不同目标之间的冲突, 测试算例不统一, 导致多目标流水车间调度极具挑战性。文献[1-5]对流水车间调度进行详细的算法分类。分配估计算法(estimation of distribution algorithm, EDA)是其中一种有效算法[6], EDA取代交叉变异的自然演化机制, 采用统计学习方法在群体建立一个描述解分部的概率模型, 进而对概率模型随机采样产生新的群体, 重复迭代。BVEDA[7]以EDA的概率模型为架构, 为了获取更多演化的重要信息, 加入双变量概率模型进行演化, 证实在置换流水车间调度问题(permutation flow shop scheduling, PFSP)单目标问题上有效。CHEN Y M等人[8]通过改良先前提出的遗传算法混合人造解算法, 提出扩展型遗传算法混合人造解算法(extended artificial chromosomes with genetic algorithm, eACGA), eACGA也加入双变量概率模型用以产生人造解(artificial chromosome, AC), 进而提高解的收敛效率。CHEN S等[9]人提出双变量概率模型解决单目标调度问题。BVEDA与文献[8-9]相同, 均加入双变量概率模型, 均未对多目标调度问题进行研究, BVEDA在演化部分仅使用相邻交换法[10-11]交换相邻的工件, 多样性存在不足且相邻交换法的判断标准为单目标, 三目标针对性不够, 为此IBVEDA加入最短处理时间(shortest processing time, SPT)、最长处理时间(shortest processing time, LPT)、最短交货期(earliest due date, EDD)3种派工规则并根据其效果在数量上进行动态调整, 派工规则的效果越好, 则下次迭代时派工规则被分配的解的数量就越多, 以此不断调整派工规则所处理的解的数量。为证实算法的有效性, 利用C++编码对Taillard标准测试算例进行测试, 结果为:IBVEDA在三目标PFSP上求得非支配解123个, 有效解116个, 平均距离为-113.466412, 为三目标PFSP问题求解提供了更有效的方法。

1 PFSP模型与评价指标 1.1 PFSP模型

置换流水车间调度即所有工件n经过任一机器m皆以相同的加工顺序进行作业, 而各工件在各机器上的加工时间有所不同。假设π={π1, π2, …, πn}为工件加工顺序, p(πi, j)为工件i在机器j上的处理时间, C(πi, j)为工件i在机器j上的完工时间, Cj为机器j上第n个工件的完工时间, dj为机器j的交货期Tj为机器j的拖期, 则由Reeves[11-12]提出的PFSP的最大完工时间Cmax的数学模型为:

${\rm{min}}\left( {{C_{{\rm{max}}}}\left( \pi \right)} \right) = C({\pi _n},m),$

最大的拖期Tmax的数学模型为:

${\rm{min}}\left( {{T_{{\rm{max}}}}\left( \pi \right)} \right) = {\rm{max}}\left\{ {{C_j} - {d_j},{\rm{ }}0} \right\},$

总流程时间TFT的数学模型为:

${\rm{min}}{T_{{\rm{FT}}}} = \sum\limits_{j = 1}^m {\sum\limits_{i = 1}^n {({C_{{\pi _i}}},j)} } $

一般情况下, k(k>1) 个目标优化问题定义为:

${\rm{min}}\left( {{f_1}\left( x \right),{\rm{ }}{f_2}\left( x \right), \cdots ,{\rm{ }}{f_k}\left( x \right)} \right),$

式中:x为决策变量, X为可行解的集合, xX

多目标问题因目标冲突, 需要以下定义比较多个目标的大小, 从而判定解的优劣。

定义1    如果ZZ′, 则Z支配Z′。

定义2    解x*Ω是帕累托最优解。如果不存在这样一个xΩ使z=f(x)支配z*=f(x*)。

1.2 评价指标

不同于单目标解, 多目标组合优化找到的是近似解集, 本研究采用Arroyo的多目标评价方法[13], 定义了有效解NES在参考集RS中非支配解DN中的数量, 计算公式为:

${N_{{\rm{ES}}}} = |ND - \left\{ {x \in {D_{\rm{N}}}|\exists y \in {\rm{ }}{R_{\rm{S}}},{\rm{ }}x \prec y} \right\}|,$ (1)

另一个评价指标是距离Dav, 在评价多目标调度算法如文献[14-16]中多有使用, 用于测量此算法求得的有效解与参考集RS之间的平均距离

${D_{{\rm{av}}}} = 100*\frac{1}{{|{R_{\rm{S}}}|}}\sum\limits_{x \in {R_{\rm{S}}}} {{\rm{min}}\;d\left( {z',{\rm{ }}z} \right)} ,$ (2)

式中: z′=f(x′)=(f1(x′), …, fND(x′)), z=f(x)=(f1(x), …, fRS(x))。

2 研究方法

改善式BVEDA利用双变量概率模型构建区块, 在演化中加入派工规则EDD、SPT、LPT, 并根据前1%解的效果动态调整下一代演化过程中处理解的数量, 最后保留和筛选非支配解。因此, 主要包括4个部分:(1) 建构区块; (2) 组合人造解; (3) 母体演化; (4) 留存与筛选非支配解。

2.1 IBVEDA流程

本研究提出的IBVEDA算法的运作流程图如图 1所示, 其中ΔR为更新概率模型的数量, Rthre为更新概率模型的阈值, ΔA为组合人造解的数量, Athre为组合人造解的阈值, g为迭代次数。

图 1 改善式双量分配估计算法流程图 Figure 1 Flow chart of IBVEDA

IBVEDA算法的流程为:

(1) 初始化。以随机的方式产生N条初始解, 作为演化群体(N为群体大小)。

(2) 计算适应度。计算群体中每条初始解各自的适应度, 本研究以最小化最大完工时间、最小化最大拖期与最小化总流程时间作为适应度函数。

(3) 若ΔRRthre, 则概率模型的数量归零即ΔR=0, 否则使用群体中高质量的解更新概率模型。

(4) 若ΔAAthre, 则进行区块挖掘机制, 根据概率模型组合出优势区块, 利用组合机制产生N条人造解进行母体演化, 否则直接进行母体演化。

(5) 母体演化。注入人造解的同时, 加入派工规则SPT、LPT和EDD, 产生的新解称为子代。

(6) 取代与筛选。筛选母体与子代中的非支配解, 成为新的母体进入下一代演化。

(7) 重复执行(3)~(6), 直到满足迭代数g=100, 则迭代停止。

2.2 IBVEDA演化机制 2.2.1 构建区块

IBVEDA使用双变量概率矩阵即优势矩阵和相依矩阵构建区块, 从两个维度记录母体中解的分布关系, 优势矩阵记录工件与其所在位置之间的关系, 而相依矩阵记录每个工件与其他工件间的前后关系。如图 2所示的优势矩阵的更新机制, 两矩阵初始值均为0.1, 将母体中的N条解依照适合度升序排列, 排名前top 30的解挑选成为优秀解集合, Tij为工件i在位置j出现的次数, i在位置j出现就加1。举例如图 3所示, 有5条工件为5的解{C1, C2, …, C5}用来更新优势矩阵。以C1~C5的第1个位置为例, 工件1共出现两次、工件2、3、5各出现一次, 故矩阵中T11=2.1、T21=T31=T51=1.1, 而工件4未出现在C1~C5的第1个位置, 故T41维持初始值0.1, 各位置以此类推, 完成优势矩阵的更新, 相依矩阵以同样方式更新, 只是表达的含义不同。

图 2 更新优势矩阵 Figure 2 Update probability matrix
图 3 优势矩阵更新细节 Figure 3 The details of updating matrix

根据以上优势矩阵与相依矩阵所提供的信息进行工件与工件的连接即区块挖掘, 操作如下:以随机方式选择起始位置, 最小长度设为2, 以合并机率CP选择下一个连接工件, 合并概率越大, 则使用轮盘选择法(roulette wheel selection, RWS)被选择的可能性越大, 以此进行, 以所设定的阈值为中止条件。研究发现, 在演化初期工件的前后关系比工件与其所在位置的关系更能影响解的质量, 而演化中后期则相反, 所以在演化初期给予相依矩阵较高的权重, 阈值随着迭代次数的增加, 由0.3~0.7递增。若合并机率小于阈值, 则无法加入, 区块停止挖掘, 区块挖掘后与区块数据库中的区块进行比较即区块竞争。CP的计算式为:

$\begin{array}{l} {\rm{C}}{{\rm{P}}_i} = ({W_{{\rm{dom}}}} \times P_{i,{\rm{ }}k}^{{\rm{dom}}}) + ({W_{{\rm{dep}}}} \times P_{i,{\rm{ }}j}^{{\rm{dep}}}),\\ \quad \quad \quad \quad i,{\rm{ }}j,{\rm{ }}k = 1 \cdots n;i \ne j, \end{array}$

式中:i为工件号; ji所连接的上一个工件的号码; k为工件i所在的位置或数目; CPi为工件i的合并几率; WdomWdep分别为目前优势矩阵与相依矩阵的合并权重值; Pi, kdom为工件i于位置k在优势矩阵的几率; Pi, jdep为相依矩阵中工件i相连于工件j之后的几率。

区块挖掘后, 如果区块之间出现重复的工件或区块之间涵盖的位置重复, 则要将此代产生的新区块与区块数据库中的区块进行挑选与比较, 发生重复的区块将以平均几率进行比较, 平均几率较大者保留, 较小者删除, 这一操作称为区块竞争, 平均几率

$P_{{B^i}}^{{\rm{AVG}}} = \frac{{P_{B_1^i,{\rm{ }}k}^{{\rm{dom}}} + \sum\limits_{l = 2}^q {C{P_{B_l^i}}} }}{q},$

式中:i为区块号码; B1i为第i条区块的第1个工件; kB1i的位置; q为该区块的长度。

保留在区块数据库中区块用来组合人造解。

2.2.2 组合人造解

组合高质量的人造解能提高IBVEDA的求解质量与收敛速度。完成区块挖掘后, 利用区块数据库中保留的区块组合人造解, 如图 4, 人造解的第一个位置依据优势矩阵以RWS选择工件放入, 其余N-1个位置皆使用合并几率以RWS选择, 已选入人造解的工件不再参与其他位置的工件选择。每当人造解选出一个工件, 会将该工件与所有区块的起始位置比对, 如果位置相同且工件相同, 则将该区块直接复制到人造解中, 从复制后的下个位置继续选择并比对, 直到完成人造解。

图 4 组成人造解的机制 Figure 4 Mechanism of artificial chromosome
2.2.3 母体演化

若满足组合人造解条件则按照图 5进行演化, 加入SPT、LPT、EDD三种派工规则, 与由EDA产生的AC同时进行, 否则三种派工规则按照其分配的数量进行操作。为提高求解效率, 选择各个规则演化后产生的子代的top10的解, 计算其适度值总和, 根据适度值总和在各个规则适度值总和所占的比例分配下一代演化的数量, 如EDA、SPT、LPT、EDD操作后子代top10的适度值总和分别为1134、1467、1244、1168, 则EDA下一代数量所占比例为1134/(1134+1467+1244+1168)=23%, 因群体大小为100, 故在下一代中EDA被分配的解的数量为23个, 其他规则以此类推。通过不断迭代, 各个规则的数量可自动调整和分配, 从而优化求解效率。

图 5 EDA、SPT、LPT、EDD演化 Figure 5 Evolution of EDA、SPT、LPT、EDD
2.2.4 留存与筛选优势解

重组后的父代与子代一同放入选择池, 选择适度值较好的前50个作为精英解, 再从剩余的解中随机挑选2个, 适度值较大的放入选择池继续筛选, 反复执行直至选择池的数量达到下一代迭代的群体大小。

3 试验分析

本算法基于Microsoft Visual Studio 2012中的Visual C++实现, 在处理器Intel(R) Core(TM) i5-4460@3.20 GHz, 内存为16GB, 操作系统为Windows 10 64位的PC机上运行。算法选取Taillard[10]的7个标准算例作为测试数据, 测试例题规模为工件数从20到100, 机器数从5到20。

为验证所提算法的性能, 将其与BVEDA[10]和SPGAⅡ[17]进行比较, 算法设置的参数如下:群体大小为100, 迭代总数为100, 组合人造解的条件是最佳解未改变, 人造解数量的阈值为100, 代数增加总代数的25%为清空概率模型的条件, 目的是降低前期质量较差的解的影响。计算合并几率时, 优势矩阵的权重随迭代数增加由0.3~0.7递增, 计算合并几率时, 相依矩阵的权重随迭代数增加由0.7~0.3递减, 区块的最小长度为2, 区块挖掘的数量为工件数的10%, 分布估计算法、最短处理时间、最长处理时间和最短交货期所处理解的初始数量为群体大小的25%, SPGAⅡ的参数设置见文献[18-20]。

表 1为不同测试数据下IBVEDA、BVEDA和SPGAⅡ在Taillard算例下执行10次所求得的非支配解的数量NS、有效解数量NES和所求的支配解与参考集的平均距离Dav(评价指标见文献[14]), 其计算式如式(1)(2) 所示, 其中NT指的是3种算法求得有效解数量的总和。

表 1 IBVEDA, BVEDA, SPGAⅡ算法求得的NSNESDav的比较 Table 1 NS, NES and Dav by IBVEDA, BVEDA and SPGAⅡ

表 1可知, IBVEDA求得非支配解数量123个, 大于SPGAⅡ的非支配解数量110个, 同时大于BVEDA的非支配解数量65个。IBVEDA求得有效解的数量116个, 大于SPGAⅡ的有效解数量110个, 同时大于BVEDA的有效解数量65个。IBVEDA求得的与参考集的平均距离为-113.47, 小于SPGAⅡ的平均距离115.40, 更小于BVEDA的平均距离200.99, 因此IBVEDA在非支配解的数量总和、有效解数量总和与参考集的平均距离总和上优于SPGAⅡ和BVEDA。从局部来看, 在算例Ta030、Ta070、Ta080上, IBVEDA求得的非支配解数量微弱于SPGAⅡ, 但IBVEDA所求Dav均小于SPGAⅡ和BVEDA, 说明IBVEDA所求非支配解数量虽少但质量较佳, 有效解上仅Ta070上求的解比BVEDA和SPGAⅡ差, 其余解均优于其他算法, 每一个算例中IBVEDA所求的解均优于其他算法。上述结果证明通过双变量概率模型的构建以及4种方法的并行演化能提高求解的数量和质量。

而有效解在参考集RS中非支配解中的数量, 能够更真实表达算法的性能, 表 1中IBVEDA中7个例题的有效解数量除了Ta060和Ta070小于BVEDA, 其余都远远大于BVEDA。与SPGAⅡ相比, IBVEDA在Ta010、Ta020、Ta040、Ta050、Ta060上求得的有效解数量优势明显, 而在Ta030、Ta070上较差, 在Ta080上微弱。

为直观地观察算法的求解能力, 如图 6分别画出3种算法所求非支配解的分布图, 其中实心矩形代表由IBVEDA所求解, 空心矩形代表由BVEDA所求解, 空心圆点表示由SPGAⅡ所求解, 点越集中于坐标图左下方, 算法的求解能力越好。从图 6 a) b)中可以看出, IBVEDA在Ta030上所求TmaxTFT整体大于SPGAⅡ, 表现一般; 从图 6 c) d)Ta080的求解表现上, IBVEDA所求Tmax远低于SPGAⅡ和BVEDA, 所求TFT亦整体低于SPGAⅡ和BVEDA, 明显看出IBVEDA在大规模问题上求解性能较佳。

图 6 IBVEDA、BVEDA和SPGAⅡ在Ta030和Ta080求得的(完工时间拖期)和(完工时间总流程时间)的分布 Figure 6 Solutions distribution of IBVEDA, BVEDA and SPGAⅡ on Ta030 and Ta080's (Cmax, Tmax) and (Cmax, TFT)
4 结语

本研究提出的IBVEDA用于求解多目标调度问题。首先通过构建双变量的概率模型组合人造解以提高求解质量, 其次加入多样的派工规则SPT、LPT、EDD, 从而提高演化的多样性, 以精英保存策略保存每一代的优势解, 最后通过不同规模上Taillard经典算例测试, 通过与BVEDA和SPGAⅡ在NSDavNES上的比较, 证实IBVEDA整体优于SPGAⅡ和BVEDA, 仅个别例题求解效果略差, 在Ta080上的求解表现证明IBVEDA在大规模问题上的求解潜力。下一步研究可参考文献[19-20], 针对各个目标进行权重设置、分群演化等应用于其他多目标调度问题上, 进一步提高算法的求解能力。

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