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  山东大学学报(工学版)  2017, Vol. 47 Issue (4): 14-18  DOI: 10.6040/j.issn.1672-3961.0.2017.008
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引用本文 

李真伟, 崔国忠, 郭从洲, 虞昌浩. 基于交替方向乘子法的图像盲复原[J]. 山东大学学报(工学版), 2017, 47(4): 14-18. DOI: 10.6040/j.issn.1672-3961.0.2017.008.
LI Zhenwei, CUI Guozhong, GUO Congzhou, YU Changhao. Blind image restoration using alternating direction method of multipliers[J]. Journal of Shandong University (Engineering Science), 2017, 47(4): 14-18. DOI: 10.6040/j.issn.1672-3961.0.2017.008.

作者简介

李真伟(1993—), 男, 江苏无锡人, 硕士研究生, 主要研究方向为图像复原.E-mail:13260280885@163.com

通讯作者

郭从洲(1980—), 男, 河南西华人, 讲师, 博士研究生, 主要研究方向为图像复原, 超分辨率重建.E-mail:czguo0618@sina.cn

文章历史

收稿日期:2017-01-05
网络出版时间:2017-05-24 11:15:44
基于交替方向乘子法的图像盲复原
李真伟1, 崔国忠1, 郭从洲1, 虞昌浩2     
1. 中国人民解放军信息工程大学理学院, 河南 郑州 450001;
2. 中国人民解放军信息工程大学指挥军官基础教育学院, 河南 郑州 450001
摘要:为了克服正则化理论的全变分图像盲复原模型中出现的运行效率低、效果不好等问题, 提出一种基于交替方向乘子法的盲复原迭代算法。该算法通过交替迭代的方式, 将复原图像与点扩散函数交替估计, 同时不必更新惩罚项从而提高了运行速度和复原的质量。计算同时加入了对点扩散函数的归一化和阈值约束条件以及对图像的正定性条件。数值试验中, 对不同模糊类型的图像进行了盲复原处理, 并与已有的其他盲复原方法进行了比较。从主观评价能够发现, 提出的算法能够改进图像的质量, 提高其分辨率; 通过客观指标比较, 峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)最大能够提高1.2 dB, 结构相似度(structural similarity index, SSIM)最大提高1%, 计算时间最大节约一半左右。
关键词盲复原    全变分正则化    交替方向乘子算法    点扩散函数    峰值信噪比    结构相似度    
Blind image restoration using alternating direction method of multipliers
LI Zhenwei1, CUI Guozhong1, GUO Congzhou1, YU Changhao2     
1. School of Science, The PLA Information Engineering University, Zhengzhou 450001, Henan, China;
2. School of Command Officer Basic Education, The PLA Information Engineering University, Zhengzhou 450001, Henan, China
Abstract: In order to overcome the low operating efficiency and poor reconstruction quality in the total variation blind image restoration model of the regularization theory, an iterative algorithm of blind restoration based on alternating direction method of multipliers algorithm was proposed. The restored image and the point spread function were estimated alternatively by alternating iteration to improve the running speed and reconstruction quality through a way without updating the penalty term. The normalization and threshold constraint condition of the point spread function, and the positive definite condition of the image were added while calculating. In the numerical experimentation, the blind restoration of the images with different fuzzy types were carried out, and it was compared with other existing blind image restoration methods.
Key words: blind image restoration    total variation regularization    alternating direction method of multipliers algorithm    point spread function    peak signal to noise ratio    structural similarity index    
0 引言

现实生活中, 观测到的图像往往是真实图像退化之后所得到的结果, 此过程可简化为

$Ax+\varepsilon =b,$ (1)

式中:b是观测到的图像, x是原始图像, A是点扩散函数, ε是加性噪声。由观测到的退化图像b重建原始图像x的过程称为图像复原。图像复原在医疗图像[1-3]、遥感图像[4-5]、天文图像[6]等领域都有广泛应用。

若点扩散函数(point spread function, PSF)无法确定, 仅能通过观测图像推断出退化信息, 从而找出复原的图像, 则复原的过程成为图像盲复原。针对全变分(total variation, TV)函数难以解决非线性和不可微的情况, 提出了很多的方法, 如滞后系数不动点迭代算法[7]、原始对偶变量策略[8]、FTVD方法[9]、ADM方法[10]、分裂Bregman[11-13]算法。

图像复原问题可以归结为求解线性反问题:

$Ax=b,$ (2)

式中A是两个Hilbert空间XH的有界线性算子。解决实际问题时不能仅仅考虑如何求解式(2), 应当加入一些先验条件, 例如稀疏性的条件, 为此引入算子W, 问题转化为

$\text{min}\ f\left( Wx \right)~\quad \text{s}.\text{t}.~\ Ax=b,\text{ }x\in D\left( W \right),$ (3)

其中fW对特定的应用可以取不同的值。所考虑模型为

$\underset{x\in D\left( W \right)}{\mathop{\text{min}}}\,\left\{ \frac{1}{2}\|Ax-b{{\|}^{2}}+\alpha f\left( Wx \right)+\beta f\left( WA \right) \right\},$ (4)

式中: α, β>0被称为正则项系数; f是一个促进稀疏的函数。在解决此问题时, 通过引入了新的分裂算子和新的处罚项可以将问题转化为新的约束问题, 最后运用交替方向乘子法[14](alternating direction method of multipliers algorithm, ADMM)算法迭代求得最后的结果。

1 交替方向乘子法

ADMM算法常用来解决变分正则最小化问题, 并因其可分解性和优秀的灵活性而作为解决结构化优化问题的有效算法受到了很多学者的关注。

为了解决式(3) 所提出的问题, 引入一个新的变量y, 式(3) 变为

$\text{min}~f\left( y \right)\quad ~\text{s}.\text{t}.~\ Ax=b,\text{ }Wx=y,\text{ }x\in D\left( W \right)。$ (5)

相应的增广拉格朗日函数为

$\begin{align} &{{L}_{{{\rho }_{1}},\text{ }{{\rho }_{2}}}}\left( x,\text{ }y,\text{ }\lambda ,\text{ }\mu \right)=f\left( y \right)+\left\langle \lambda ,\text{ }Ax-b \right\rangle + \\ &\left\langle \mu ,\text{ }Wx-y \right\rangle +\frac{{{\rho }_{1}}}{2}\|Ax-b{{\|}^{2}}+\frac{{{\rho }_{2}}}{2}\|Wx-y{{\|}^{2}}, \\ \end{align}$ (6)

其中ρ1ρ2是两个正常数。ADMM算法可以表示为

$\left\{ \begin{align} &{{x}_{k+1}}\in \text{arg}\ \text{min}\ {{L}_{{{\rho }_{1}},\text{ }{{\rho }_{2}}}}\left( x,\text{ }{{y}_{k}};{{\lambda }_{k}},{{\mu }_{k}} \right), \\ &{{y}_{k+1}}\in \text{arg}\ \text{min}\ {{L}_{{{\rho }_{1}},\text{ }{{\rho }_{2}}}}\left( {{x}_{k+1}},\text{ }y;{{\mu }_{k}} \right), \\ &{{\lambda }_{k+1}}={{\lambda }_{k}}+{{\rho }_{1}}\left( A{{x}_{k+1}}-b \right), \\ &{{\mu }_{k+1}}={{\mu }_{k}}+{{\rho }_{2}}\left( W{{x}_{k+1}}-{{y}_{k+1}} \right) 。\\ \end{align} \right.$ (7)

算法1 (ADMM算法)

(1) 输入y0, λ0, μ0, 正常数ρ1ρ2, Γ>1, 噪声等级δ>0。(δ代表的是测量值与实际数据的偏差, 例如:‖bδ-b‖≤δ)。

(2) 令y0δ=y0, λ0δ=λ0, μ0δ=μ0

(3) 对k=0, 1, 2…, 更新x, y和拉格朗日乘子:

$\begin{align} &\quad \quad \quad {{x}^{k+1}}=\underset{x\in D\left( W \right)}{\mathop{\text{arg}\ \text{min}}}\,\left\{ \left\langle \lambda _{k}^{\delta },\text{ }Ax \right\rangle +\left\langle \mu _{k}^{\delta },\text{ }Wx \right\rangle \right.+ \\ &\left. \quad \quad \quad \frac{{{\rho }_{1}}}{2}\|Ax-{{b}^{\delta }}{{\|}^{2}}+\frac{{{\rho }_{2}}}{2}\|Wx-y_{k}^{\delta }~{{\|}^{2}} \right\}, \\ &y_{k+1}^{\delta }=\underset{y\in Y}{\mathop{\text{arg }\!\!~\!\!\text{ min}}}\,\left\{ f\left( y \right)-\left\langle \mu _{k}^{\delta },y \right\rangle +\frac{{{\rho }_{2}}}{2}\|Ww_{k+1}^{\delta }-y{{\|}^{2}} \right\}, \\ &\quad \quad \quad \quad \lambda _{k+1}^{\delta }=\lambda _{k}^{\delta }+{{\rho }_{1}}\left( Ax_{k+1}^{\delta }-{{b}^{\delta }} \right), \\ &\quad \quad \quad \quad \mu _{k+1}^{\delta }=\mu _{k}^{\delta }+{{\rho }_{2}}\left( Wx_{k+1}^{\delta }-y_{k+1}^{\delta } \right) 。\\ \end{align}$

(4) 终止条件:

$\begin{align} &\rho _{1}^{2}~\|Ax_{k}^{\delta }-{{b}^{\delta }}{{\|}^{2}}+\rho _{2}^{2}~\|Wx_{k}^{\delta }-y_{k}^{\delta }~{{\|}^{2}}\le \\ &\quad \quad \quad \quad \text{max}\left( \rho _{1}^{2},\text{ }\rho _{2}^{2} \right){{\tau }^{2}}{{\delta }^{2}} 。\\ \end{align}$ (8)
2 交替方向乘子盲复原算法

针对盲复原问题, 本研究提出了新的交替方向乘子(ADMM)盲复原算法, 采用交替迭代的思想并加入对图像和PSF的约束来达到获取目标图像的目的。

算法2: (ADMM盲复原算法)

(1) 输入初始y0, λ0, μ0, 常数ρ1, ρ2, ρ3, ρ4均为正, 噪声等级Γ>1, 噪声等级δ>0。

(2) 令y0δ=y0, λ0δ=λ0, μ0δ=μ0

(3) 对k=0, 1, 2, …, 更新x, y和拉格朗日乘子:

$\begin{align} &{{A}^{k+1}}=\text{arg }\!\!~\!\!\text{ min}\left\{ \left\langle \lambda _{1k}^{\delta },\text{ }{{A}_{k}}x \right\rangle +\left\langle \mu _{1k}^{\delta },\text{ }W{{A}_{k}} \right\rangle \right.+ \\ &\left. \ \frac{{{\rho }_{1}}}{2}\|{{A}_{k}}{{x}_{k}}-{{b}^{\delta }}{{\|}^{2}}+\frac{{{\rho }_{2}}}{2}\|W{{A}_{k}}-y_{1k}^{\delta }~{{\|}^{2}} \right\}, \\ &{{x}^{k+1}}=\text{arg min}\left\{ \left\langle \lambda _{2k}^{\delta },\text{ }{{A}_{k+1}}x \right\rangle +\left\langle \mu _{2k}^{\delta },\text{ }Wx \right\rangle \right.+ \\ &\left. \ \frac{{{\rho }_{3}}}{2}\|{{A}_{k+1}}{{x}_{k}}-{{b}^{\delta }}{{\|}^{2}}+\frac{{{\rho }_{4}}}{2}\|W{{x}_{k}}-y_{2k}^{\delta }{{\|}^{2}} \right\}, \\ &\quad y_{1k+1}^{\delta }=\text{arg}\,\text{min}\left\{ f\left( {{y}_{1k}} \right)-\left\langle \mu _{1k}^{\delta },\text{ }{{y}_{1k}} \right\rangle \right.+ \\ &\left. \quad \quad \quad \quad \frac{{{\rho }_{2}}}{2}\|Wx_{k+1}^{\delta }-{{y}_{1k}}{{\|}^{2}} \right\}, \\ &\quad y_{2k+1}^{\delta }=\text{arg}\,\text{min}\left\{ f\left( {{y}_{2k}} \right)-\left\langle \mu _{2k}^{\delta },\text{ }{{y}_{2k}} \right\rangle \right.+ \\ &\quad \quad \quad \quad \left. \frac{{{\rho }_{4}}}{2}\|Wx_{k+1}^{\delta }-{{y}_{2k}}{{\|}^{2}} \right\}, \\ &\quad \quad \quad \quad \lambda _{1k+1}^{\delta }=\lambda _{1k}^{\delta }+{{\rho }_{1}}\left( {{A}_{k+1}}x_{k+1}^{\delta }-{{b}^{\delta }} \right), \\ &\quad \quad \quad \quad \lambda _{2k+1}^{\delta }=\lambda _{2k}^{\delta }+{{\rho }_{3}}\left( {{A}_{k+1}}x_{k+1}^{\delta }-{{b}^{\delta }} \right), \\ &\quad \quad \quad \quad \mu _{1k+1}^{\delta }=\mu _{1k}^{\delta }+{{\rho }_{2}}\left( WA_{k+1}^{\delta }-y_{k+1}^{\delta } \right), \\ &\quad \quad \quad \quad \mu _{2k+1}^{\delta }=\mu _{2k}^{\delta }+{{\rho }_{4}}\left( Wx_{k+1}^{\delta }-y_{2k+1}^{\delta } \right) 。\\ \end{align}$

(4) 终止条件:

$\begin{align} &\rho _{1}^{2}\|{{A}_{k}}x_{k}^{\delta }-{{b}^{\delta }}{{\|}^{2}}+\rho _{2}^{2}~\|Wx_{k}^{\delta }-y_{1k}^{\delta }~{{\|}^{2}}\le \\ &\quad \quad \quad \quad \text{max}\left( \rho _{1}^{2},\text{ }\rho _{2}^{2} \right){{\tau }^{2}}{{\delta }^{2}}, \\ &\rho _{3}^{2}\|{{A}_{k}}x_{k}^{\delta }-{{b}^{\delta }}{{\|}^{2}}+\rho _{4}^{2}\|WA_{k}^{\delta }-y_{2k}^{\delta }{{\|}^{2}}\le \\ &\quad \quad \quad \quad \text{max}\left( \rho _{3}^{2},\text{ }\rho _{4}^{2} \right){{\tau }^{2}}{{\delta }^{2}} 。\\ \end{align}$ (9)

在解决图像的问题中, 令Wx=(▽1x, ▽2x), 对x=xi, j,

$\begin{array}{l} {\left( {{\nabla _1}x} \right)_{i,{\rm{ }}j}} = \left\{ \begin{array}{l} {x_{i + 1,{\rm{ }}j}} - {x_{i,{\rm{ }}j}},{\rm{ }}i = 1, \cdots M - 1;{\rm{ }}j = 1, \cdots ,{\rm{ }}N,\\ {x_{1,{\rm{ }}j}} - {x_{M,{\rm{ }}j}},{\rm{ }}i = M;{\rm{ }}j = 1, \cdots ,{\rm{ }}N。\end{array} \right.\\ {\left( {{\nabla _2}x} \right)_{i,{\rm{ }}j}} = \left\{ \begin{array}{l} {x_{i,{\rm{ }}j + 1}} - {x_{i,{\rm{ }}j}},{\rm{ }}i = 1, \cdots ,{\rm{ }}M;{\rm{ }}j = 1, \cdots ,{\rm{ }}N - 1,\\ {x_{i,{\rm{ }}1}} - {x_{i,{\rm{ }}N}},{\rm{ }}i = 1, \cdots ,{\rm{ }}M;{\rm{ }}j = N。\end{array} \right. \end{array}$

一般情况下取$f\left( x \right)={{\left\| x \right\|}_{1}}+\frac{v}{2}\left\| x \right\|_{2}^{2}$,其中v为一很小的常数, 即

$\begin{align} &f\left( u,v \right)=\sum\limits_{i=1}^{M}{\sum\limits_{j=1}^{N}{\sqrt{u_{i,\text{ }j}^{2}+v_{i,\text{ }j}^{2}}}}+ \\ &\quad \quad \frac{v}{2}\sum\limits_{i=1}^{M}{\sum\limits_{j=1}^{N}{(u_{i,\text{ }j}^{2}+v_{i,\text{ }j}^{2})}} 。\\ \end{align}$

步骤(3) 中问题的关键步骤为

$\begin{align} &A_{k+1}^{\delta }={{\left( {{\rho }_{1}}x_{k}^{*}{{x}_{k}}+{{\rho }_{2}}{{W}^{*}}w \right)}^{-1}}~\left( x_{k}^{*}\left( {{\rho }_{1}}{{b}^{\delta }}-\lambda _{1k}^{\delta } \right) \right.+ \\ &\quad \quad \quad \quad \quad \left. {{W}^{*}}\left( {{\rho }_{2}}y_{1k}^{\delta }-\mu _{1k}^{\delta } \right) \right) 。\\ \end{align}$ (10)

而步骤3可用shrink函数求解[15]。复原中假设一个较大的点扩散函数支撑域, 支撑域外所有像素值均为0。而迭代过程估计的点扩散函数很可能含有一些噪声, 使以后的迭代形成恶性循环, 严重破坏复原结果。点扩散函数的动态阈值和归一化约束将优于非负约束:

$\begin{array}{l} {A^i}\left( {x,{\rm{ }}y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} {A^i}\left( {x,{\rm{ }}y} \right),{\rm{ }}{A^i}\left( {x,{\rm{ }}y} \right) \ge \delta {\rm{max}}\left( {{A^i}} \right),\\ 0,{\rm{else,}} \end{array} \right.\\ \quad \quad \quad \quad \quad \int {{A^i}(x,{\rm{ }}y){\rm{d}}x{\rm{d}}y = 1} 。\end{array}$ (11)

对图像采用非负约束:

${{x}^{i}}\left( x,\text{ }y \right)=\left\{ \begin{align} &{{x}^{i}}\left( x,\text{ }y \right),\text{ }{{x}^{i}}\left( x,\text{ }y \right)\ge 0, \\ &0,\text{else} 。\\ \end{align} \right.$ (12)

相较于传统盲复原算法, 不必知道点扩散函数模型, 只需支撑域大小的估计值, 先验知识要求较少。与FTVd算法不同, 不必在迭代中采用连续的方法来更新惩罚项系数。

3 试验结果及评价

为了验证所提优化算法的可行性和性能, 选用准测试图“Lenna”和“house”作为试验对象, 如图 1所示。试验多采用人工退化是为了更清楚地对比不同模糊类型复原结果以及算法所估PSF与真实PSF关系。利用ADMM盲复原算法对不同人工退化图像进行复原, 并将此算法与近几年具有代表性的盲复原算法进行比较。

图 1 试验测试图“Lenna” Figure 1 Experimental test chart "Lenna"

为客观评价图像复原效果引入评价指标峰值信噪比以及结构相似度, 其中峰值信噪比

$\text{PSNR}=10\times \text{lo}{{\text{g}}_{10}}\left( \frac{({{2}^{n}}-1)}{\text{MSE}} \right),$ (13)

式中MSE是原图像与复原图像之间的均方误差。两副图像x, y结构相似度

$\text{SSIM}\left( x,\text{ }y \right)=\frac{(2{{\mu }_{x}}{{\mu }_{y}}+{{c}_{1}})(2{{\sigma }_{xy}}+{{c}_{2}})}{(\mu _{x}^{2}+\mu _{y}^{2}+{{c}_{1}})(\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+{{c}_{2}})},$ (14)

式中:μ为图像平均值, σ为图像标准差。

3.1 不同模糊类型的图像复原

针对不同类型的模糊图像, 利用上述的方法进行盲复原, 复原效果参见图 2

图 2 不同模糊类型盲复原效果图 Figure 2 Effect of different fuzzy types of blind restoration

图 2 a)b)分别是对高斯滤波退化后“Lenna”图, 采用ADMM盲复原算法复原前后结果; 图 2 c)d)是对均匀滤波退化后“Lenna”图采用ADMM盲复原算法复原前后结果。目视效果与客观指标相符, 见表 1

表 1 退化“Lenna”图像复原前后的PSNR值(dB) Table 1 PSNR values before and after restoration of degraded Lenna images
3.2 与其他图像盲复原算法的比较

ADMM盲复原算法与文献[11]提出的split bregman迭代盲复原算法以及四阶split bregman盲复原迭代算法[15]进行对比试验。运用高斯滤波对标准“Lenna”测试图进行模糊。ADMM算法复原效果明显而四阶split bregman算法则出现了波纹, 如图 3所示。

图 3 不同方法盲复原结果 Figure 3 Results of different methods of blind restoration

与其他两种盲复原算法相比,ADMM在复原效果以及运行速度上有巨大的优势。表 2列出了了对“Lenna”图用5×5大小方差为10的高斯滤波器滤波后结果(PSNR为25.0) 运用三种盲复原算法后的评价指标。PSNR最大能够提高1.2dB, 结构相似度最大提高1%, 计算时间最大节约一半左右。

表 2 不同盲复原方法比较 Table 2 Comparison of different methods of blind restoration

算法进行的是交替迭代, 算法中PSF矩阵与灰度图矩阵是同等地位的, 因此所估PSF的准确性一定程度上可以反应复原效果的好坏。图 4可以看出, 迭代一定次数后, 文献[15]的四阶split bregman盲复原算法估计的退化函数离真实值相距甚远, 而文献[11]的split bregman盲复原算法则将退化函数简化为元素均相同的矩阵。相比之下, ADMM算法估计的退化函数与真实退化函数最为接近。

图 4 不同算法估计的PSF Figure 4 PSF of different algorithms
3.3 其他图片的复原结果

本研究还针对其他加入不同模糊的图片进行了盲复原的试验, 下面列举其中的几个, 如图 5所示。

图 5 其他图像盲复原结果 Figure 5 Results of blind restoration of other images
4 结论

本研究提出一种基于ADMM的盲复原算法。该算法无需对惩罚项连续更新且不必知道确切的PSF模型, 同时相比于已有的几种盲复原算法, 在复原的效果以及算法的运行速度上有了一定程度的提高。PSNR最大能够提高1.2dB, 结构相似度最大提高1%, 计算时间最大节约一半左右。同时该算法能在一定程度上复原复杂的模糊类型。但是该算法对参数比较敏感, 并且对有些真实图像仍然不具有特别好的结果。下一步的研究工作是简化对PSF的迭代条件, 以达到更好的效果。

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