0 引言

滑模同步日益成为研究的热点^[1-11], 传统的滑模控制方法包括主动滑模控制^[12]、自适应滑模控制^[13]、终端滑模控制^[14-15]。文献[16]利用比例积分追踪制导控制, 得到精确的追踪制导方法, 提出新的滑模控制方法, 即积分滑模方法; 文献[17]利用比例积分滑模方法研究新混沌系统的滑模控制问题, 提出比例积分滑模方法, 而该方面的研究还不是很多; 文献[18]提出“混沌纠缠”, 它是产生混沌的新方法, 由两个稳定的子系统通过增加纠缠项构造新混沌。该方面的研究引起控制界的密切关注^[19], 而利用比例积分滑模控制研究纠缠系统混沌同步问题几乎没有该方面的报道。在上述研究的基础上, 研究新纠缠混沌系统的滑模和比例积分滑模同步问题, 设计滑模面和控制器, 给出系统取得同步的两个充分性条件。

1 系统描述

考虑两个线性子系统:

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = a{x_1} + b{y_1}\\ {{\dot y}_1} = b{x_1} + c{y_1} \end{array} \right., $

(1)

$ {\dot z_1} = - m{z_1}, $

(2)

其中:(x₁, y₁, z₁)是状态变量。当a＜0, c＜0, m＞0两个子系统是稳定的, 通过正弦函数纠缠式(1)(2), 得到如下系统^[19]

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot x}_1}{\rm{ = }}a{x_1} + b{y_1} + l\sin {y_1}\\ {{\dot y}_1} = - b{x_1} + c{y_1} + l\sin {z_1}\\ {{\dot z}_1} = - m{z_1} + l\sin {x_1} \end{array} \right., $

(3)

其中:a、b、c、m、l是纠缠系数；sin x₁、sin y₁、sin z₁是纠缠函数。当a=-1, b=10, c=-1, m=3, l=18时系统(3)出现混沌吸引子, 其轨相图见图 1。

以系统(3)作为驱动系统, 设计响应系统为

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot x}_2}{\rm{ = }}a{x_2} + b{y_2} + l\sin {y_2}\\ {{\dot y}_2} = - b{x_2} + c{y_2} + l\sin {z_2} + u\left( t \right)\\ {{\dot z}_2} = - m{z_2} + l\sin {x_2}, \end{array} \right., $

(4)

定义误差e₁=x₂-x₁, e₂=y₂-y₁, e₃=z₂-z₁, 式(4)与式(3)相减得到

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot e}_1} = a{e_1} + b{e_2} + l\left( {\sin {y_2} - \sin {y_1}} \right)\\ {{\dot e}_2} = - b{e_1} + c{e_2} + l\left( {\sin {z_2} - \sin {z_1}} \right) + u\left( t \right)\\ {{\dot e}_3} = - m{e_3} + l\left( {\sin {x_2} - \sin {x_1}} \right) \end{array} \right.。$

(5)

2 滑模同步

假设1  |ae₁|＜|be₂|。

假设2  |l(sin x₂-sin x₁)|＜|me₃|。

假设3  |be₁|＜|ke₂|。

引理1^[20] (Barbalat引理)   若函数f(t)在[0, +∞)上一致连续, 并且广义积分∫₀^+∞f(t)dt存在, 则有$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } f\left( t \right) = 0$。其中f(t)表示一致连续的函数。

定理1  在假设1、2条件下, 设计滑模函数s(t)=e₁+e₂+e₃, 控制器u(t)=(b-a)e₁-(b+c)e₂+me₃-$l\sum\limits_{i = 1}^3 {\left| {{e_i}} \right|{\mathop{\rm sgn}} \left( s \right) - \eta~ {\mathop{\rm sgn}} \;s} $, 则系统(3)与(4)是滑模混沌同步的。

证明  当系统在滑模面上运动时s=0, $\dot s$=0, 根据式(5), 很容易得到${\dot e_3}$=-me₃+l(sin x₂-sin x₁), 根据假设2, 构造Lyapunov函数$V = \frac{1}{2}e_3^2$, 求导得到$\dot V = {e_s}{\dot e_3} = {e_3}\left[ { - m{e_3} + l\left( {\sin {x_2} - \sin {x_1}} \right)} \right] < 0$, 根据稳定性理论, e₃→0。再由${\dot e_2}$=-be₁+ce₂+l(sin z₂-sin z₁)+u(t), 将控制器代入得到${\dot e_2}$=-ae₁-be₂+me₃+l(sin z₂-sin z₁)-$l\sum\limits_{i = 1}^3 {\left| {{e_i}} \right|} $sgn(s)-η sgn s, 由于e₃→0, 在滑模面上s=0, 所以得到方程${\dot e_2}$=-ae₁-be₂+l(sin z₂-sin z₁), 而利用拉格朗日中值定理得到l(sin z₂-sin z₁)=l(z₂-z₁)cos ξ=le₃cos ξ, 由于e₃→0, 无穷小量与有界变量的乘积仍未无穷小量, 所以l(sin z₂-sin z₁)→0, 从而上述方程变为${\dot e_2}$=-ae₁-be₂, 根据假设1, 构造Lyapunov函数$V\left( t \right) = \frac{1}{2}e_2^2$, 求导得到$\dot V$=e₂${\dot e_2}$=e₂[-ae₁-be₂]＜0, 根据稳定性理论, e₂→0, 另一方面, 根据式(5)不难得到, ${\dot e_1}$=ae₁+be₂+l(sin y₂-sin y₁), 由于l(sin y₂-sin y₁)=l(y₂-y₁)cos ζ=le₂ cos ζ, 由于e₂→0, 所以l(sin y₂-sin y₁)→0, 故上述方程变为${\dot e_1}$=ae₁, a=-1不难得到e₁→0。

当不在滑模面上运动时, 构造Lyapunov函数$V\left( t \right) = \frac{1}{2}{s^2}$, 则

$ \begin{array}{l} \dot V = s\dot s = s\left[ {{{\dot e}_1} + {{\dot e}_2} + {{\dot e}_3}} \right]\\ \;\;\; = s\left\{ {\left( {a - b} \right){e_1} + \left( {b + c} \right){e_2} - m{e_3} + l\left[( {\sin {z_2} - \sin {z_1} ) +\\ \left( {\sin {y_2} - \sin {y_1}} \right) + \left( {\sin {x_2} - \sin {x_1}} \right)} \right] + u} \right\}\\ \;\;\; \le l\left| s \right|\sum\limits_{i = 1}^3 {\left| {{e_i}} \right| - } l\sum\limits_{i = 1}^3 {\left| {{e_i}} \right|s \cdot {\mathop{\rm sgn}} \;s - \eta s \cdot {\mathop{\rm sgn}} \;s。} \end{array} $

根据符号函数的性质s·sgn s=|s|, 不难得到由于${\dot V}$＜-η|s(t)|, 不等式两边积分得到∫₀^t|s(τ)|dτ≤$\frac{{\int_0^t {\dot V\left( \tau \right){\rm{d}}\tau } }}{{ - \eta }} \le \frac{{V\left( 0 \right) - V\left( \infty \right)}}{\eta } \le \frac{{V\left( 0 \right)}}{\eta } < \infty $, 所以s(t)可积且有界, 根据定理1可知, s(t)→0⇒e_i(t)→0。

3 比例积分滑模同步

以上述系统(3)作为驱动系统, 响应系统设计为式(4), 则误差系统为式(5)。选取比例积分滑模函数

$ s\left( t \right) = {e_2}\left( t \right) + \int_0^t {\left[ {k{e_2}\left( \tau \right) + b{e_1}\left( \tau \right) - l\left( {\sin {z_2}\left( \tau \right) - \sin {z_1}\left( \tau \right)} \right)} \right]d\tau , } $

其中:k为可以选定的正常数, 从而有$\dot s$(t)=${\dot e_2}$(t)+ke₂(t)+be₁(t)-l(sin z₂(t)-sin z₁(t))。由于在滑模面上满足条件s(t)=0, $\dot s$(t)=0, 所以得到等效控制为u_eq(t)=-(k+c)e₂(t), 将等效控制器带入式(5)得到理想滑模方程

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot e}_1} = a{e_1} + b{e_2} + l\left( {\sin {y_2} - \sin {y_1}} \right)\\ {{\dot e}_2} = - b{e_1} + k{e_2} + l\left( {\sin {z_2} - \sin {z_1}} \right)\\ {{\dot e}_3} = - m{e_3} + l\left( {\sin {x_2} - \sin {x_1}} \right) \end{array} \right.。$

(6)

定理2  在假设2、3下, 选取s(t)=e₂(t)+∫₀^t[ke₂(τ)+be₁(τ)-l(sin z₂(τ)-sin z₁(τ))]dτ, 控制器u(t)=-(k+c)e₂(t)-ηsgn(s(t)), 则纠缠混沌系统的主从系统(3)与(4)是比例积分滑模同步的。

证明  在滑模面上运动时, 根据理想滑模方程(6)有${{\dot e}_3}$=-me₃+l(sin x₂-sin x₁), 根据假设2, 构造Lyapunov函数V(t)=$\frac{1}{2}$e₃², 求导得到$\dot V$=e₃${{\dot e}_3}$=e₃[-me₃+l(sin x₂-sin x₁)]＜0, 根据稳定性理论, e₃→0。另一方面由${{\dot e}_2}$=-be₁-ke₂+l(sin z₂-sin z₁), l(sin z₂-sin z₁)=l(z₂-z₁) cos ξ=le₃ cos ξ, 由于e₃→0, 所以l(sin z₂-sin z₁)→0。所以上述方程变为${{\dot e}_2}$=-be₁-ke₂, 构造Lyapunov函数V(t)=$\frac{1}{2}$e₂², 根据假设3, 求导得到$\dot V$=e₂${\dot e_2}$=e₂[-be₁  -ke₂]＜0, 根据稳定性理论, e₂→0。根据式(6)不难得到, ${{\dot e}_1}$=ae₁+be₂+l(sin y₂-sin y₁), 由于l(sin y₂-sin y₁)=l(y₂-y₁)cos ζ=le₂ cos ζ, 由于e₂→0, 所以l(sin y₂-sin y₁)→0, 故上述方程变为${{\dot e}_1}$=ae₁, a=-1不难得到e₁→0。

不在滑模面上运动时, 选取Lyapunov函数V(t)=$\frac{1}{2}$s²求导得到

$ \begin{array}{l} \dot V\left( t \right){\rm{ = }}s\dot s = s\left[ {{{\dot e}_2}\left( t \right) + k{e_2}\left( t \right) + b{e_1}\left( t \right) - l\left( {\sin {z_2}\left( t \right) - \sin {z_1}\left( t \right)} \right)} \right]\\ \;\;\;\;\;\;\; = s\left[ { - b{e_1} + c{e_2} + l\left( {\sin {z_2} - \sin {z_1}} \right) + u\left( t \right) +\\ k{e_2}\left( t \right) + b{e_1}\left( t \right) - l\left( {\sin {z_2}\left( t \right) - \sin {z_1}\left( t \right)} \right) + u\left( t \right)} \right]\\ \;\;\;\;\;\;\; = - \eta s \cdot {\mathop{\rm sgn}} \left( s \right) = - \eta \left| {s\left( t \right)} \right| < 0, \end{array} $

由于$\dot V < - \eta \left| {s\left( t \right)} \right|$, 不等式两边积分得到$\int_0^t {\left| {s\left( \tau \right)} \right|{\rm{d}}\tau \le \frac{{\int_0^t {\dot V\left( \tau \right){\rm{d}}\tau } }}{{ - \eta }}} \le \frac{{V\left( 0 \right) - V\left( \infty \right)}}{\eta } \le \frac{{V\left( 0 \right)}}{\eta } < \infty $, 根据引理1可知, s(t)→0。

4 数值仿真

无妨利用MATLAB/simulink进行数值仿真, 系统参数a=-1, b=10, c=-1, m=3, l=18, 系统初始值设置为(x₁(0), y₁(0), z₁(0))=(2, 1, 3), (x₂(0), y₂(0), z₂(0))=(1, 2, 2), 定理1中选取滑模面s(t)=e₁+e₂+e₃, 控制器u(t)=(b-a)e₁-(b+c)e₂+me₃-$l\sum\limits_{i = 1}^3 {\left| {{e_i}} \right|{\mathop{\rm sgn}} \left( s \right) - \eta~ {\mathop{\rm sgn}} s} $, 定理2中选取控制器u(t)=-(k+c)e₂(t)-η sgn(s(t)), 及比例积分滑模面

$ s\left( t \right) = {e_2}\left( t \right) + \int_0^t {\left[ {k{e_2}\left( \tau \right) + b{e_1}\left( \tau \right) - l\left( {\sin {z_2}\left( \tau \right) - \sin {z_1}\left( \tau \right)} \right)} \right]} {\rm{d}}\tau 。$

定理1、2中的系统误差曲线见图 2、3, 从图 2、3中可以看出, 初始时刻系统误差曲线相距甚远, 随时间推移, 系统误差渐趋一致, 另外定理1与定理2比较, 定理1中的切换面简单, 是一种线性的滑模面, 而定理2中的滑模面是一种非线性曲面, 定理2中的控制器比定理1更简单, 从而能够利用很小的控制输入实现对系统进行同步控制, 从而便于实现。另外从图 2、3取得同步的所需时间上面也能看到, 定理1中当t＞0.27 s以后系统取得同步, 定理2中当t＞0.20 s以后系统取得同步, 显然定理2中达到同步时间更短。

5 结论

基于滑模及比例积分滑模控制方法研究纠缠混沌系统的滑模同步问题, 设计滑模面和控制器, 给出系统取得同步的两个充分性条件, 研究结果表明:一定条件下纠缠混沌系统的主从系统是滑模同步与比例积分滑模同步的, 并给出严格的数学推理和证明过程, 最后数值算例验证了该方法的可行性与有效性。