0 引言

视线稳定平台主要用于目标的捕捉与追踪, 其动态性能决定了稳定平台的响应速度^[1-5]。随着视线稳定平台小型化需求日益增加, 框架驱动力矩电机体积势必减小, 从而其储存力矩难以克服较大的干扰。根据理论分析可知, 最大的干扰因素来自于框架的静不平衡和动不平衡。由于框架机构转动范围的限制, 在平台运行过程中, 与静不平衡相比, 动不平衡对电机输出性能影响的比例较小, 故降低框架机构的静不平衡干扰力矩十分必要^[6-10]。静不平衡力矩主要是由于结构设计不合理, 后期加工引入的误差及材料密度的不均产生的。目前, 对于框架机构静不平衡量测量及质量补偿的工程应用主要集中于传统大型高速离心机法^[11-13], 该方法通过加载离心加速度从而放大框架的静不平衡量, 通过驱动电机的保持力矩反推得到框架的静不平衡量, 但此方法测量静不平衡量的时间周期较长, 且大惯量对框架机构的损害较大, 同时操作安全系数较低易引发事故。相比于传统测量方法, LI T Q^[14-15]提出了一种刚性结构的静不平衡量测量系统, 由于刚性结构在静不平衡量测量过程中产生的应力形变对测量结果会产生影响, 在静平衡量较小时产生的测量误差较大。于爽^[16]设计的静不平衡量测量设备由3个刚性球铰将视线稳定平台质心运动的变化量传递至称重传感器上, 根据传感器采集的数据及一定的算法反推得到框架静不平衡量的大小, 但在测量过程中, 刚性球铰的转动摩擦会对高精度静不平衡测量引入很大的干扰。本研究以詹世涛^[17]的静不平衡测量样机为基础, 设计了一套新的多框架结构静不平衡量测量及补偿系统。该测量平台以质心投影法为基本原理, 柔性杠杆机构为桥梁, 将视线稳定平台的质心投影变化量传递至电磁力传感器上, 从而得到稳定平台各框架的静不平衡量, 从而得到框架质量补偿方案。系统中的柔性杠杆机构为二级杠杆, 其旋转副由柔性铰链替代, 由于柔性铰链具有无摩擦、无空回、无间隙等特点, 故能有效提高系统对静不平衡量的灵敏度及测量精度。目前对于柔性机构的分析方法一般为HOWELL L L等^[18]提出的伪刚体模型法, 该方法将柔性铰链等效为两个刚性构件和一个刚性转动副, 从而可以采用传统的分析方法进行机构分析, 但该方法忽略了柔性铰链在其他方向上的变形, 影响了运动模型的精度。本研究基于LOBONTIU N等^[19]的直圆型柔性铰链封闭方程, 推导了柔性杠杆的柔度模型, 同时分析优化了柔性铰链各尺寸参数, 提高整个测量系统的测量精度。

1 静不平衡测量系统原理

静不平衡测量系统如图 1所示, 主要由双框架解耦机构、柔性杠杆机构、电磁力传感器和隔振抗干扰系统组成。其中, 双框架解耦机构主要感知视线稳定平台在运动过程中, 框架质心关于双框架解耦机构两个正交旋转轴的重力矩变化量; 柔性杠杆机构将输入力按力臂放大系数等比例减少, 输出至电磁力传感器; 电磁力传感器通过主动式位移补偿特性将柔性杠杆机构的输出端恢复至初始位置, 同时反馈微力的大小; 隔振抗干扰系统用于隔离外部气流扰动及地基震动对设备测量时间及测量精度的影响。

1.1 质心投影法

本系统采用质心投影法作为测量视线稳定平台框架静不平衡量的基本方法, 其本质意义在于, 框架的质心位置变动会导致双框架解耦机构所受重力矩的改变。这种变化与静不平衡量之间存在的数学关系构成了质心投影法测量的基本方法。视线稳定平台单框架旋转情况下的框架质心变化如图 2所示。

如图 2所示, 当视线稳定平台待测框架处于初始零位时, 其质心在双框架解耦机构平面上的投影坐标(x₀, y₀)以极坐标形式表示为:

$ \left( {{x_0},{y_0}} \right) = \left( {\rho \cos {\theta _0},\rho \sin{\theta _0}} \right), $

(1)

式中:ρ为质心距离坐标原点的距离; θ₀为质心在初始零位时同坐标原点连线与x轴的夹角。

待测框架旋转+α角度后, 其质心投影坐标

$ \left( {{x_1},{y_1}} \right) = \left( {\rho \cos {\theta _1},\rho \sin{\theta _1}} \right), $

(2)

式中:θ₁为质心在框架旋转+α后同坐标原点连线与x轴的夹角。

将待测框架恢复至零位后, 转动-α角度后, 其质心投影坐标

$ \left( {{x_2},{y_2}} \right) = \left( {\rho \cos {\theta _2},\rho \sin{\theta _2}} \right), $

(3)

式中:θ₂为质心在框架旋转-α后同坐标原点连线与x轴的夹角大小。

将式(2) (3)作差即可得到质心投影在两个方向上的位置变化量Δx和Δy分别为:

$ \left\{ \begin{array}{l} \Delta x = \rho \left( {\cos {\theta _2} - \cos {\theta _1}} \right)\\ \Delta y = \rho \left( {\sin {\theta _2} - \sin {\theta _1}} \right) \end{array} \right.。$

(4)

结合式(4) (1), 可以将框架在初始零位时的质心位置在两个方向上的变化量为:

$ \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = \Delta y/\left( {2\sin \alpha } \right)\\ {y_0} = - \Delta x/\left( {2\sin \alpha } \right) \end{array} \right.。$

(5)

1.2 静不平衡量计算

假设待测框架的质量为m, 结合式(5), 可以得到框架质心在旋转过程中, 框架质量与质心投影在坐标系两个方向距离的乘积的变化量分别表示为:

$ \left\{ \begin{array}{l} m\Delta x = - 2m{y_0}\sin \alpha \\ m\Delta y = 2m{x_0}\sin \alpha \end{array} \right.。$

(6)

假设连接双框架解耦机构x轴和y轴两个方向上的电磁力传感器反馈得到的微力分别为F_x和F_y, 则结合式(6), 视线稳定平台待测框架关于x轴和y轴两个方向的不平衡力矩M_x和M_y可以表示为:

$ \left\{ \begin{array}{l} {M_x} = m{x_0} = \frac{{{F_x}{l_{xx}}}}{{2\sin \alpha }}\\ {M_y} = m{y_0} =- \frac{{{F_y}{l_{yy}}}}{{2\sin \alpha }} \end{array} \right., $

(7)

式中:l_xx和l_yy分别为柔性杠杆机构关于双框架解耦机构在x轴和y轴两个方向上的力臂放大系数。

该静不平衡测量系统通过旋转稳定平台待测框架, 得到电磁力传感器反馈微力的变化量, 经过式(7)计算得到框架关于x轴和y轴两个方向的静不平衡量, 进而可以通过质量补偿得到高精度静平衡框架设备。

2 柔性杠杆机构柔度模型

根据邓文昊^[20]关于质心投影法各参数误差对静不平衡测量精度的分析可以得知:测量平台的偏转误差对系统测量精度影响最大, 因此对于系统中柔性杠杆输入端的柔度分析十分必要。

柔性杠杆机构如图 3所示, 由对称的两个二级杠杆组成, 其中的转动关节由柔性铰链替代, 输入端与双框架解耦机构连接, 输出端连接电磁力传感器。其中第一级和第二级杠杆通过中间连杆连接, 中间连杆由一段刚性杆及两个柔性铰链组成。由于机构的对称设计, 理想情况下, 杠杆机构输出端在x方向的寄生运动会被抑制, 只会产生y方向的运动, 同时该对称设计优化了输出力的方向。

相比于其他切口截面类型的柔性铰链, 直圆型柔性铰链在微小转动情况下, 旋转轴漂移量较低, 在其他方向上产生的寄生运动较小, 适用于高精度传力机构, 因此在本研究中, 柔性杠杆机构中转动关节全部采用直圆型柔性铰链。柔性铰链由电火花慢走丝加工工艺加工, 并通过去应力退火来消除机构中的残余应力, 避免其影响柔性机构的性能。

直圆型柔性铰链如图 4所示, 其中, 节点3固定, 节点2为柔性铰链的转动中心, 节点1为自由端。定义u为柔性铰链节点1处的三个方向形变量, F为柔性铰链节点1处所受的三个方向广义力, 则

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{u}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _z}}&{{u_y}}&{{u_x}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}\\ \mathit{\boldsymbol{F}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_z}}&{{F_y}}&{{F_x}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} \end{array} \right.。$

柔性铰链末端1处形变量和所受广义力的关系可表示为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _z}}\\ {{u_y}}\\ {{u_x}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_{{\theta _z} - {M_z}}}}&{{C_{{\theta _z} - {F_y}}}}&0\\ {{C_{y - {M_z}}}}&{{C_{y - {F_y}}}}&0\\ 0&0&{{C_{x - {F_x}}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_z}}\\ {{F_y}}\\ {{F_x}} \end{array}} \right]。$

(8)

由位移互等定理可知式(8)中的C_θz-Fy和C_yz-Mz相等。根据Lobontiu的柔度封闭公式可以推导直圆型柔度矩阵中的参数分别为

$\small{ \left\{ \begin{array}{l} {C_{{\theta _z} - {M_z}}} = \frac{{12}}{{Eb{t^2}}}\frac{1}{{1 + \beta }}\\ {C_{{\theta _z} - {F_y}}} = {C_{y - {F_y}}} = - \frac{t}{{2\beta }}{C_{{\theta _z} - {M_z}}}\\ {C_{y - {F_y}}} = \frac{3}{{2Eb}}\frac{1}{{\left( {1 + \beta } \right){{\left( {1 + 2\beta } \right)}^2}{\beta ^3}}}\left\{ {2\left[ {1 + \beta \left( {4 + 3\beta - 2{\beta ^2}} \right)} \right] + {\beta ^2}\left( {1 + \beta } \right)\sqrt {1 + 2\beta } \log \left( {\frac{{1 + \beta + \sqrt {1 + 2\beta } }}{{1 + \beta - \sqrt {1 + 2\beta } }}} \right)} \right\}\\ {C_{x - {F_x}}} = \frac{1}{{Eb}}\frac{1}{{\sqrt {1 + 2\beta } }}\log \left( {1 + \frac{{1 + \sqrt {1 + 2\beta } }}{\beta }} \right) \end{array} \right.,} $

式中: E为材料弹性模量; b为柔性铰链的宽度; R为切口圆半径; β=t/2R。

柔性杠杆机构由于对称设计, 故只分析左半部分的柔性二级杠杆。本研究将柔性二级杠杆分为两部分讨论, 一部分为第一级杠杆和中间连杆部分, 第二部分为第二级杠杆部分。通过推导第一部分的柔度矩阵, 进而推导出第二部分的柔度矩阵即得到整个二级杠杆的柔度矩阵。

第一部分各柔性铰链的局部坐标建立如图 5所示, 以下推导该部分的输出端的柔度矩阵。

假定只有柔性铰链1发生形变, 其余柔性铰链及相关连杆为刚体, 则第一部分末端所受广义力[M_o′z F_o′y F_o′x]^T与柔性铰链1末端所有广义力[M_1z F_1y F_1x]^T之间的关系可表示为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_{1z}}}\\ {{F_{1y}}}\\ {{F_{1x}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{l_2}}&{ - {l_3}}\\ 0&0&1\\ 0&{ - 1}&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_{o'z}}}\\ {{F_{o'z}}}\\ {{F_{o'x}}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {F_{{\rm{in}}}}{l_1}}\\ 0\\ {{F_{{\rm{in}}}}} \end{array}} \right], $

(9)

式中: l₁为坐标系1原点与输入力F_in位置之间的距离; l₂为坐标系1原点与坐标系2原点之间的距离; l₃为坐标系2原点与坐标系3原点之间的距离。

根据式(8)(9), 则柔性铰链1末端形变量

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _{1z}}}\\ {{u_{1y}}}\\ {{u_{1x}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_{{\theta _z} - {M_z}}}}&{{C_{{\theta _z} - {M_z}}}{l_2}}&{ - {C_{{\theta _z} - {M_z}}}{l_3} + {C_{{\theta _z} - {F_y}}}}\\ {{C_{y - {M_z}}}}&{{C_{y - {M_z}}}{l_2}}&{ - {C_{y - {M_z}}}{l_3} + {C_{y - {F_y}}}}\\ 0&{ - {C_{x - {F_x}}}}&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_{o'z}}}\\ {{F_{o'y}}}\\ {{F_{o'x}}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {C_{{\theta _z} - {M_z}}}{l_1}}\\ { - {C_{y - {M_z}}}{l_1}}\\ {{C_{x - {F_x}}}} \end{array}} \right]{F_{{\rm{in}}}}。$

(10)

由于铰链点1为第一级杠杆的支点, 故需考虑其对末端运动的放大作用。仅当铰链点1有微小运动时, 第一部分末端由铰链1所引起的形变量[θ_o′z¹ u_o′y¹ u_o′x¹]^T与铰链1形末端变量之间的关系为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\theta _{o'z}^1}\\ {u_{o'y}^1}\\ {u_{o'x}^1} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ {{l_2}}&0&{ - 1}\\ { - {l_3}}&1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _{1z}}}\\ {{u_{1y}}}\\ {{u_{1x}}} \end{array}} \right]。$

(11)

联合式(10) (11)可以得到第一部分末端在柔性铰链1影响下的柔度矩阵

$ {\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{hinge1}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial \theta _{o'z}^1}}{{\partial {M_{o'z}}}}}&{\frac{{\partial \theta _{o'z}^1}}{{\partial {F_{o'y}}}}}&{\frac{{\partial \theta _{o'z}^1}}{{\partial {F_{o'x}}}}}\\ {\frac{{\partial u_{o'y}^1}}{{\partial {M_{o'z}}}}}&{\frac{{\partial u_{o'y}^1}}{{\partial {F_{o'y}}}}}&{\frac{{\partial u_{o'y}^1}}{{\partial {F_{o'x}}}}}\\ {\frac{{\partial u_{o'x}^1}}{{\partial {M_{o'z}}}}}&{\frac{{\partial u_{o'x}^1}}{{\partial {F_{o'y}}}}}&{\frac{{\partial u_{o'x}^1}}{{\partial {F_{o'x}}}}} \end{array}} \right], $

式中: $ \frac{{\partial \theta ^1_{o\prime z}}}{{\partial {M_{o\prime z}}}} = {C_{{\theta _z} - {M_z}}}$, $ \frac{{\partial \theta ^1_{o\prime z}}}{{\partial {F_{o\prime y}}}} ={C_{{\theta _z} - {M_z}}}l_2$, $ \frac{{\partial \theta ^1_{o\prime z}}}{{\partial {F_{o\prime x}}}} = -{C_{{\theta _z} - {M_z}}}l_3+C_{{\theta _z} - {F_y}}$, $ \frac{{\partial u ^1_{o\prime y}}}{{\partial {M_{o\prime z}}}} = {C_{{\theta _z} - {M_z}}}l_2$, $ \frac{{\partial u ^1_{o\prime y}}}{{\partial {F_{o\prime y}}}} = {C_{{\theta _z} - {M_z}}}l_2^2+{C_{x - {F_x}}}$, $ \frac{{\partial u ^1_{o\prime y}}}{{\partial {F_{o\prime x}}}} = -{C_{{\theta _z} - {M_z}}}l_2 l_3+C_{{\theta _z} - {F_y}}l_2$, $ \frac{{\partial u ^1_{o\prime x}}}{{\partial {M_{o\prime z}}}} =- {C_{{\theta _z} - {M_z}}}l_3+C_{y - {M_z}}$, $ \frac{{\partial u ^1_{o\prime x}}}{{\partial {F_{o\prime y}}}} = -{C_{{\theta _z} - {M_z}}}l_2 l_3+C_{y- {M_z}}l_2$, $ \frac{{\partial u^1_{o\prime x}}}{{\partial {F_{o\prime x}}}} = {C_{{\theta _z} - {M_z}}}l_3^2-(C_{{\theta _z} - {F_y}}+C_{y - {M_z}})l_3+C_{y-F_y}$。

同理可以得到末端在柔性铰链2和柔性铰链3影响下的柔度矩阵C_hinge2和C_hinge3分别为

$ {\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{hinge2}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial \theta _{o'z}^2}}{{\partial {M_{o'z}}}}}&{\frac{{\partial \theta _{o'z}^2}}{{\partial {F_{o'y}}}}}&{\frac{{\partial \theta _{o'z}^2}}{{\partial {F_{o'x}}}}}\\ {\frac{{\partial u_{o'y}^2}}{{\partial {M_{o'z}}}}}&{\frac{{\partial u_{o'y}^2}}{{\partial {F_{o'y}}}}}&{\frac{{\partial u_{o'y}^2}}{{\partial {F_{o'x}}}}}\\ {\frac{{\partial u_{o'x}^2}}{{\partial {M_{o'z}}}}}&{\frac{{\partial u_{o'x}^2}}{{\partial {F_{o'y}}}}}&{\frac{{\partial u_{o'x}^2}}{{\partial {F_{o'x}}}}} \end{array}} \right], $

式中:$ \frac{{\partial \theta ^2_{o\prime z}}}{{\partial {M_{o\prime z}}}} = {C_{{\theta _z} - {M_z}}}$, $ \frac{{\partial \theta ^2_{o\prime z}}}{{\partial {F_{o\prime y}}}} =0$, $ \frac{{\partial \theta ^2_{o\prime z}}}{{\partial {F_{o\prime x}}}} = -{C_{{\theta _z} - {M_z}}}(l_3-2R)-C_{{\theta _z} - {F_y}}$, $ \frac{{\partial u ^2_{o\prime y}}}{{\partial {M_{o\prime z}}}} = 0$, $ \frac{{\partial u ^2_{o\prime y}}}{{\partial {F_{o\prime y}}}} = {C_{x - {F_x}}}$, $ \frac{{\partial u ^2_{o\prime y}}}{{\partial {F_{o\prime x}}}} = 0$, $ \frac{{\partial u ^2_{o\prime x}}}{{\partial {M_{o\prime z}}}} =- {C_{{\theta _z} - {M_z}}}(l_3-2R)-C_{y - {M_z}}$, $ \frac{{\partial u ^2_{o\prime x}}}{{\partial {F_{o\prime y}}}} = 0$, $ \frac{{\partial u^2_{o\prime x}}}{{\partial {F_{o\prime x}}}} = {C_{{\theta _z} - {M_z}}}(l_3-2R)^2+C_{{\theta _z} - {F_y}}(l_3-2R)+C_{y - {M_z}}l_3+C_{y - {F_y}}$。

$ {\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{hinge3}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial \theta _{o'z}^3}}{{\partial {M_{o'z}}}}}&{\frac{{\partial \theta _{o'z}^3}}{{\partial {F_{o'y}}}}}&{\frac{{\partial \theta _{o'z}^3}}{{\partial {F_{o'x}}}}}\\ {\frac{{\partial u_{o'y}^3}}{{\partial {M_{o'z}}}}}&{\frac{{\partial u_{o'y}^3}}{{\partial {F_{o'y}}}}}&{\frac{{\partial u_{o'y}^3}}{{\partial {F_{o'x}}}}}\\ {\frac{{\partial u_{o'x}^3}}{{\partial {M_{o'z}}}}}&{\frac{{\partial u_{o'x}^3}}{{\partial {F_{o'y}}}}}&{\frac{{\partial u_{o'x}^3}}{{\partial {F_{o'x}}}}} \end{array}} \right], $

式中:$ \frac{{\partial \theta ^3_{o\prime z}}}{{\partial {M_{o\prime z}}}} = {C_{{\theta _z} - {M_z}}}$, $ \frac{{\partial \theta ^3_{o\prime z}}}{{\partial {F_{o\prime y}}}} =0$, $ \frac{{\partial \theta ^3_{o\prime z}}}{{\partial {F_{o\prime x}}}} = -{C_{{\theta _z} - {F_y}}}$, $ \frac{{\partial u ^1_{o\prime y}}}{{\partial {M_{o\prime z}}}} = 0$, $ \frac{{\partial u ^1_{o\prime y}}}{{\partial {F_{o\prime y}}}} = {C_{x - {F_x}}}$, $ \frac{{\partial u ^1_{o\prime y}}}{{\partial {F_{o\prime x}}}} = 0$, $ \frac{{\partial u ^1_{o\prime x}}}{{\partial {M_{o\prime z}}}} =- {C_{y - {M_z}}}$, $ \frac{{\partial u ^1_{o\prime x}}}{{\partial {F_{o\prime y}}}} = 0$, $ \frac{{\partial u^1_{o\prime x}}}{{\partial {F_{o\prime x}}}} = {C_{y - {F_y}}}$。

将C_hinge2和C_hinge3通过变换矩阵转换至C_hinge1所在的坐标系下, 则转换后的柔度矩阵C_hinge2^hinge1和C_hinge3^hinge1分别可以表示为

$ \mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{hinge2}}}^{{\rm{hinge1}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&0\\ 0&{ - 1}&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]{\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{hinge2}}}},\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{hinge3}}}^{{\rm{hinge1}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&0\\ 0&{ - 1}&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]{\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{hinge3}}}}, $

因此第一部分输出端的柔度矩阵

$ \mathit{\boldsymbol{C}}_{o'{F_{o'}}}^1 = {\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{hinge1}}}} + \mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{hinge2}}}^{{\rm{hinge1}}} + \mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{hinge3}}}^{{\rm{hinge1}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_{11}}}&{{C_{12}}}&{{C_{13}}}\\ {{C_{21}}}&{{C_{22}}}&{{C_{23}}}\\ {{C_{31}}}&{{C_{32}}}&{{C_{33}}} \end{array}} \right], $

则第一部分输出端形变量[θ_o′z u_o′y u_o′x]^T与所受广义力[M_o′z F_o′y F_o′x]^T之间的关系为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _{o'z}}}\\ {{u_{o'y}}}\\ {{u_{o'x}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_{11}}}&{{C_{12}}}&{{C_{13}}}\\ {{C_{21}}}&{{C_{22}}}&{{C_{23}}}\\ {{C_{31}}}&{{C_{32}}}&{{C_{33}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_{o'z}}}\\ {{F_{o'y}}}\\ {{F_{o'x}}} \end{array}} \right]。$

(12)

第二部分各柔性铰链的局部坐标系如图 6所示。

柔性铰链4末端形变量[θ_4z u_4y u_4x]^T与第二部分输入端形变量[θ_o′z u_o′y u_o′x]^T(即第一部分输出端的形变量)之间的关系为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _{o'z}}}\\ {{u_{o'y}}}\\ {{u_{o'x}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _{4z}}}\\ {{l_4}{\theta _{4z}} + {u_{4x}}}\\ { - {u_{4y}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ {{l_4}}&0&1\\ 0&{ - 1}&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _{4z}}}\\ {{u_{4y}}}\\ {{u_{4x}}} \end{array}} \right], $

(13)

式中: l₄为坐标系4原点与第二部分输入端位置之间的距离; l₅为坐标系4原点与第二部分输出端之间的距离。

第二部分输入端所受广义力

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_{o'z}}}\\ {{F_{o'y}}}\\ {{F_{o'x}}} \end{array}} \right] = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_{11}}}&{{C_{12}}}&{{C_{13}}}\\ {{C_{21}}}&{{C_{22}}}&{{C_{23}}}\\ {{C_{31}}}&{{C_{32}}}&{{C_{33}}} \end{array}} \right]^{ - 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ {{l_4}}&0&1\\ 0&{ - 1}&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _{4z}}}\\ {{u_{4y}}}\\ {{u_{4x}}} \end{array}} \right], $

(14)

柔性铰链4末端所受到的广义力

$\small{ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_{4z}}}\\ {{F_{4y}}}\\ {{F_{4x}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_{o'y}}{l_4} + {F_{oy}}{l_5} + {M_{oz}} - {M_{o'z}}}\\ {{F_{o'x}} + {F_{ox}}}\\ { - {F_{o'y}} - {F_{oy}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{{l_4}}&0\\ 0&0&1\\ 0&{ - 1}&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_{o'z}}}\\ {{F_{o'y}}}\\ {{F_{o'x}}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{l_5}}&0\\ 0&0&1\\ 0&{ - 1}&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_{oz}}}\\ {{F_{oy}}}\\ {{F_{ox}}} \end{array}} \right],} $

(15)

式中:[M_oz F_oy F_ox]^T为第二部分输出端所受广义力。

第二部分输出端形变量[θ_oz u_oy u_ox]^T与柔性铰链4末端形变量之间的关系可以表示为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _{oz}}}\\ {{u_{oy}}}\\ {{u_{ox}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _{4z}}}\\ {{l_5}{\theta _{4z}} - {u_{4x}}}\\ {{u_{4y}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ {{l_5}}&0&{ - 1}\\ 0&1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _{4z}}}\\ {{u_{4y}}}\\ {{u_{4x}}} \end{array}} \right]。$

(16)

联合式(12)~(16)可以得到第二部分输出端形变与其所受广义力之间的柔度关系为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _{oz}}}\\ {{u_{oy}}}\\ {{u_{ox}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ {{l_5}}&0&{ - 1}\\ 0&1&0 \end{array}} \right]{\left( {\mathit{\boldsymbol{E}} - \mathit{\boldsymbol{A}}} \right)^{ - 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_{{\theta _z} - {M_z}}}}&{{C_{{\theta _z} - {M_z}}}{l_5}}&{{C_{{\theta _z} - {F_y}}}}\\ {{C_{y - {M_z}}}}&{{C_{y - {M_z}}}{l_5}}&{{C_{y - {F_y}}}}\\ 0&{ - {C_{x - {F_x}}}}&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_{oz}}}\\ {{F_{oy}}}\\ {{F_{ox}}} \end{array}} \right], $

式中: $\mathit{\boldsymbol{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {C_{{\theta _z} - {M_z}}}}&{{C_{{\theta _z} - {M_z}}}{l_4}}&{{C_{{\theta _z} - {F_y}}}}\\ { - {C_{y - {M_z}}}}&{{C_{y - {M_z}}}{l_4}}&{{C_{y - {F_y}}}}\\ 0&{ - {C_{x - {F_x}}}}&0 \end{array}} \right]{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_{11}}}&{{C_{12}}}&{{C_{13}}}\\ {{C_{21}}}&{{C_{22}}}&{{C_{23}}}\\ {{C_{31}}}&{{C_{32}}}&{{C_{33}}} \end{array}} \right]^{ - 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{{l_4}}&0\\ 0&0&1\\ 0&{ - 1}&0 \end{array}} \right];\mathit{\boldsymbol{E}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]。$

柔性杠杆机构左半部分的输出柔度模型

$ \mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{F_{\rm{o}}}}^{{\rm{left}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0 \end{array}} \right]{\left( {\mathit{\boldsymbol{E}} - \mathit{\boldsymbol{A}}} \right)^{ - 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_{{\theta _z} - {M_z}}}}&{{C_{{\theta _z} - {M_z}}}{l_5}}&{{C_{{\theta _z} - {F_y}}}}\\ {{C_{y - {M_z}}}}&{{C_{y - {M_z}}}{l_5}}&{{C_{y - {F_y}}}}\\ 0&{ - {C_{x - {F_x}}}}&0 \end{array}} \right], $

(17)

通过变换矩阵可以得到右半部分的输出柔度模型

$ \mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{F_{\rm{o}}}}^{{\rm{right}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&{ - 1} \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{F_{\rm{o}}}}^{{\rm{left}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&{ - 1} \end{array}} \right]。$

(18)

结合式(17) (18)可以得到柔性杠杆机构输出端的柔度模型

$ {\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{F_{\rm{o}}}}} = {\left( {\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{F_{\rm{o}}}}^{{\rm{left - 1}}} + \mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{F_{\rm{o}}}}^{{\rm{left - 1}}}} \right)^{ - 1}}。$

以下推导柔性杠杆机构输入端所受广义力F_in与输出端形变量U_o的柔度模型。联合式(10)(11)可以得到输入力F_in与第一部分输出端形变量的关系为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _{o'z}}}\\ {{u_{o'y}}}\\ {{u_{o'x}}} \end{array}} \right] = \mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o'}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}}}^{{\rm{left}}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}}。$

联合式(13)(16)可以得到左半部分柔度模型

$ \mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}}}^{{\rm{left}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {C_{{\theta _z} - {M_z}}}{l_1}}\\ {{C_{{\theta _z} - {M_z}}}{l_1}\left( {{l_2} - {l_4} - {l_5}} \right)}\\ { - {C_{{\theta _z} - {M_z}}}{l_1}{l_3} + {C_{y - {M_z}}}{l_1}} \end{array}} \right], $

通过变换矩阵可以得到右半部分的柔度模型

$ \mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}}}^{{\rm{right}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&{ - 1} \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}}}^{{\rm{left}}}, $

则柔性杠杆机构输入端所受广义力与输出端形变量的柔度模型

$ {\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}}}} = {\left( {\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}}}^{{\rm{left - 1}}} + \mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}}}^{{\rm{left - 1}}}} \right)^{ - 1}}, $

(19)

其中, 求逆符号表示对每个元素取倒数。

由于柔度对称原则, 柔度模型

$ {\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{in}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{o}}}}} = \mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}}}^{\rm{T}}, $

(20)

在输入力F_in的作用下, 机构输出端的位移

$ {\mathit{\boldsymbol{U}}_{\rm{o}}} = {\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}}}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}} = {\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{o}}}}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{o}}}。$

联合式(19)(20), 可以得到输入力与输入位移之间的柔度矩阵

$ {\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{in}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}}}} = {\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{in}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{o}}}}}{\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{o}}^{ - 1}}}{\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}}}}。$

由于本研究在分析柔性杠杆机构时, 关注点在于输入力与输入位移的关系以及输入与输出的关系, 故需要根据4个柔度模型推导两者之间的关系。

柔性杠杆机构的输入力F_in, 输入位移U_in与输出力F_o, 输出位移U_o的关系可以通过以上推导得到柔度模型

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{o}}} = \mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{o}}}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}}}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{U}}_{\rm{o}}} = {\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}}}}\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{in}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{U}}_{{\rm{in}}}} \end{array} \right., $

即输入与输出之间的力和位移雅可比矩阵

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{o}}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}}}} = \mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{o}}}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{U}}_o}{\mathit{\boldsymbol{U}}_{{\rm{in}}}}}} = {\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{o}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}}}}\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{in}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{in}}}}}^{ - 1} \end{array} \right.。$

3 机构仿真分析

本研究中采用Ansys有限元分析软件对柔性杠杆机构进行仿真分析, 以验证前文所用建模方法的准确性与精确性。柔性杠杆机构中, 柔性铰链类型采用直圆型柔性铰链, 其各部分参数分别为:R=5 mm, t=0.2 mm, b=15 mm。柔性杠杆机构的设计尺寸分别为: l₁=12.5 mm, l₂=50 mm, l₃=35 mm, l₄=25 mm, l₅=75 mm。材料选用2A12高强度硬铝, 其弹性模量E=70 MPa, 泊松比为0.3。现将柔性杠杆机构进行网格划分, 其结果如图 7所示。

如图 7所示, 将柔性杠杆机构的外框固定, 在左右两处一级杠杆的输入端输入力/位移。通过理论计算模型C_inFin、J_FoFin、J_UoUin可以得到杠杆输入端柔度u_iny/F_iny、力放大比F_iny/F_oy与位移放大比U_oy/U_iny的理论值, 与Ansys仿真分析软件的仿真结果进行比较。其结果如表 1所示, 可以得出理论值与仿真结果之间的误差在9%以内, 表明使用该方法建立柔度模型是可行的, 并且计算结果精确, 能够为之后的优化设计提供参考。由于柔性杠杆机构在使用中主要进行力的传递, 故在之后的优化过程中选用F_iny/F_oy作为为力臂放大系数。

理论值与仿真结果产生偏差的主要原因可能在于以下几点:(1)有限元分析软件将全机构视为柔性体进行仿真, 而理论计算模型假设杆件为刚体, 柔性铰链为柔性体。(2)有限元分析软件的仿真结果与网格划分有关, 在一定区域的网格数量越多, 该区域的灵活性就会降低, 刚度随之增加。(3)直圆型柔性铰链封闭方程没有考虑剪切力的影响, 而有限元分析软件考虑了剪切力的影响。

4 机构优化设计

由于柔性杠杆机构由全柔性转动副组成, 当待测视线稳定平台放置于测量平台上时, 由于定位误差及待测物件自身偏心会导致平台的微小转动, 引起传递至柔性杠杆机构输入端的微力产生误差, 从而影响静不平衡测量系统的测量精度。故需要对该机构的输入端刚度进行优化, 在同时保证力臂放大系数变化量最小的情况下, 尽可能地减少杠杆输入端的柔度, 从而减少由于测量平台偏转产生的测量误差。

力臂放大系数在设计尺寸中主要由参数l₁、l₂、l₄和l₅决定, 故使这些参数尺寸不发生改变, 以β和l₃为设计变量优化柔性杠杆机构。设计优化函数方程为

$ {f_{{\rm{opt}}}} = a\left| {\Delta \frac{{{F_{{\rm{in}}y}}}}{{{F_{{\rm{o}}y}}}}} \right| + {10^6}b\left| {\frac{{{u_{{\rm{in}}y}}}}{{{F_{{\rm{in}}y}}}}} \right|, $

式中:a为力臂放大系数变化量的权重; b为输入端柔度的权重, 且a+b=1。由于空间尺寸和加工工艺的限制, 规定设计变量的范围分别为β∈[0.005, 0.1], l₃∈[10 mm, 60 mm]。同时由静不平衡测量系统的测量范围决定柔性杠杆机构输入端的范围为F_iny∈[0 N, 1 N]。

由于柔性铰链存在应力集中现象, 在满足优化函数的同时, 机构各处的柔性铰链最大应力不能超过材料的屈服强度, 故需建立柔度模型的应力约束条件。由Simth等^[21]推导的结果可知, 柔性铰链最大应力处于其最小厚度处, 计算公式为

$ {\sigma _{\max }} = \frac{{6{M_z}}}{{{t^2}b}}{K_b}, $

式中:σ_max为厚度最小处的应力; K_b为直圆型柔性铰链的应力集中系数, ${K_{\rm b}} = \frac{{2.7t + 5.4R}}{{8R + t}} + 0.325 $。

则应力约束条件可以表示为

$ {\sigma _{\max }} < \frac{\sigma }{S}, $

式中S为安全系数。

在满足应力约束条件下, 遍历规定设计变量的范围和输入范围, 最终得优化函数的最小值。使优化函数最小的设计变量分别为β=0.035和l₃=50 mm。表 2显示了优化前后输入端的理论柔度与柔性杠杆机构的理论力臂放大系数。从表 2中可以得知, 优化后力臂放大系数变化量为2%, 同时机构输入端的柔度显著降低, 为18.63%, 故满足了优化目的。

图 8为优化后柔性杠杆机构在最大输入情况下的应力云图(图中应力单位为MPa)。图 8中, 机构的外框架固定, 输入端竖直方向加载力为1 N, 输出端固定, 仿真结果显示最大应力为9.16 MPa, 而材料的屈服强度为265 MPa, 故安全系数为28.96, 表明优化方法满足应力约束条件, 同时验证了柔性杠杆机构优化方法的可行性及有效性。

5 结语

1) 由直圆型柔性铰链封闭方程建立的柔度模型与有限元分析结果的差值在9%以内, 模型误差属于合理范围, 说明该方法对于串联式柔性铰链机构柔度模型的建立是可行的。

2) 以降低柔性杠杆机构的输入柔度为目的, 力臂放大系数变化量最小为约束, 建立的机构参数优化方程使柔性铰链机构输入端柔度降低了18.63%, 同时保证了力臂放大系数变化量在2%左右。

3) 使用直圆型柔性铰链封闭方程建立柔性杠杆机构柔度模型的方法可用于其他基于柔性铰链力/位移传递机构的分析及相关优化。