0 引言

积分时滞过程是工业过程控制领域内常见的被控对象,当这类被控对象受到扰动后,输出参数很难自动稳定并重新恢复平稳,因而这类系统的控制难度较大^[1-2]。文献^[3采用二自由度串级控制结构,将设定值滤波器加入到主回路中,利用H_∞优化方法设计主回路控制器,提高系统跟随性能,并采用内模控制方法设计副回路的2个控制器,取得了较好的控制效果。文献^[4提出一种二自由度Smith预估控制方法,主回路采用二自由度Smith 预估控制结构,使系统设定值跟随性和干扰抑制特性解耦,副回路采用内模控制结构。其控制算法简单,易于工程应用。文献^[5]提出了基于幅相裕度的PID参数整定方法,并针对一阶和二阶时滞系统仿真验证了该方法的有效性。文献^[6-8]分别基于直接综合法、最大灵敏度指标和期望闭环性能指标,确定了积分时滞过程的PID控制器参数,但计算方法较繁琐。文献^[9]采用ISE积分指标最小化方法整定PID调节器参数,提供了选择增益频率和奈奎斯特曲线的斜率准则,并成功应用于积分时滞过程,但系统动态响应较差。

考虑上述存在的问题,本研究将文献^[10-11]的设计方法推广,提出了积分时滞过程的一种新的内模PID鲁棒控制方法。首先,对积分环节的处理,采用一阶环节逼近。然后,用一阶泰勒级数逼近对象中的纯滞后项,将时滞控制系统控制问题转化为非时滞系统控制问题。最后,基于鲁棒性能指标给出了简单的参数整定解析表达式。所设计的控制系统结构简单,参数整定方便,且在模型精度不高的情况下,仍然可以获得非常好的鲁棒性。

1 积分时滞对象的内模控制器设计

考虑积分时滞过程模型

${{\tilde{G}}_{p}}\left( s \right)=\frac{K}{s}{{\tilde{G}}_{po}}\left( s \right){{e}^{-\theta s}}$

(1)

式中: ${{\tilde{G}}_{p}}\left( s \right)$(s)为被控积分时滞过程模型;K为积分时滞过程模型的增益;θ为积分时滞过程模型的滞后时间;$\underset{s\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\tilde{G}}_{po}}\left( s \right)=1$。对过程模型进行分解可得:

${{\tilde{G}}_{p}}\left( s \right)={{P}_{M}}\left( s \right){{P}_{A}}\left( s \right)$

(2)

式中:P_M(s)为模型的可逆部分,是具有最小相位特征的传递函数;P_A(s)为不可逆部分,其传递函数为全通滤波器,模型中所有的时滞和右半平面零点均在不可逆部分。

为保证系统的稳定性和鲁棒性,通常将一个滤波器增加在模型的最小相位部分,定义内模控制器

${{G}_{IMC}}=P_{M}^{-1}\left( S \right)f$

(3)

滤波器f通常采用 $f=\frac{{{\left( \beta s+1 \right)}^{m}}}{{{\left( \lambda s+1 \right)}^{n}}},$

式中:nm≥0;β为常数;λ可以自由选择。如果G_p(s)≠G_p(s),即模型失配,在闭环系统稳定的前提下,只要设计内模控制器${{G}_{IMC}}\left( 0 \right)=\tilde{G}_{p}^{-1}\left( 0 \right)$ 即稳态增益等于模型稳态增益的倒数,则系统对于阶跃输入和常值干扰均不存在稳态偏差^[10$。

2 积分时滞对象的内模PID控制器设计

将内模控制系统等效变换为常规反馈控制系统,得到内模控制器与反馈控制器之间的关系:

${{G}_{c}}\left( s \right)\approx \frac{{{G}_{IMC}}\left( s \right)}{1-{{G}_{IMC}}\left( s \right){{{\tilde{G}}}_{p}}\left( s \right)}.$

针对积分时滞对象特性,利用一阶环节逼近积分环节,即K/s≈αK/(αs+1),其中α取足够大,从而式(1)可以写为

${{G}_{c}}\left( s \right)\approx \frac{\alpha K}{\alpha s+1}{{\tilde{G}}_{po}}\left( s \right){{e}^{-\theta s}}$

由式(1)～(3)可得

${{G}_{IMC}}=\frac{\alpha s+1}{\alpha K{{{\tilde{G}}}_{po}}\left( s \right)}f,$

得IMC-PID控制器

${{G}_{c}}\left( s \right)=\frac{{{G}_{IMC}}\left( s \right)}{1-{{G}_{IMC}}\left( s \right){{{\tilde{G}}}_{p}}\left( s \right)}=\frac{\alpha s+1}{\alpha K{{{\tilde{G}}}_{po}}\left( s \right)\left( {{f}^{-1}}\left( s \right)-{{e}^{-\theta s}} \right)}.$

考虑一阶和二阶积分时滞过程模型为:

${{\tilde{G}}_{p}}\left( s \right)=\frac{K}{s}{{e}^{-\theta s}}\approx \frac{\alpha K}{\alpha s+1}{{e}^{-\theta s}},$

(4)

${{\tilde{G}}_{p}}\left( s \right)=\frac{K}{s\left( \tau s+1 \right)}{{e}^{-\theta s}}\approx \frac{\alpha k}{\left( \alpha s+1 \right)\left( \tau s+1 \right)}{{e}^{-\theta s}},$

(5)

式中τ为过程的时间常数。滤波器选取f=1/(λs+1),则系统反馈控制器分别为

${{G}_{c}}\left( s \right)=\frac{\alpha s+1}{\alpha K\left( 1+\lambda s-{{e}^{-\theta s}} \right)},$

(6)

${{G}_{c}}\left( s \right)=\frac{\left( \alpha s+1 \right)\left( \tau s+1 \right)}{\alpha K\left( 1+\lambda s-{{e}^{-\theta s}} \right)},$

(7)

用一阶泰勒表达式逼近式(6)(7)中的时滞项,即e^-θs≈1-θs,得到内模PI和PID控制器的标准表达式

${{G}_{c}}\left( s \right)=\frac{1}{K\left( \lambda +\theta \right)}\left( 1+\frac{1}{\alpha s} \right),$

(8)

${{G}_{c}}\left( s \right)=\frac{\alpha +\tau }{\alpha K\left( \lambda +\theta \right)}\left[ 1+\frac{1}{\left( \alpha +\tau \right)s}+\frac{\alpha \tau }{\alpha +\tau }s \right].$

(9)

3 基于鲁棒性能指标的内模PID控制器参数整定

文献^[11$提出的鲁棒性能指标γ为

$\frac{1}{\gamma }=\underset{0\le \omega <\infty }{\mathop{max}}\,|\operatorname{Re}\left( {{G}_{c}}\left( j\omega \right){{{\tilde{G}}}_{p}}\left( j\omega \right) \right)|,$

(10)

式中:G_c(jω)为IMC-PID控制器频率特性;G_P(jω)为过程模型的频率特性,系统开环传递频率特性G_L(jw)=G_c(jw) G_P(jw),即γ的值为G_L(jω)实部最大绝对值的倒数。由式(10)分析,γ与幅值、相位裕度关系为

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{A}_{_{m}}}>\gamma ,\\ {{\phi }_{m}}>\arccos \frac{1}{\gamma },\\ \end{array} \right.$

式中:A_m为系统幅值裕度; φ_m为相位裕度。可见,γ可以同时满足幅值、相位裕度的要求,其取值范围为1.5～2.5,其值越大,系统鲁棒性越好。

由式(4)(5)(8)和(9)可得:

${{G}_{L}}\left( s \right)=\frac{{{e}^{-\theta s}}}{\left( \lambda +\theta \right)s},$

$|\operatorname{Re}{{G}_{L}}\left( j\omega \right)|=\left| -\frac{1}{\lambda +\theta }\centerdot \frac{\sin \omega \theta }{\omega } \right|,$

(11)

式(11)的最大值的计算式

$\underset{\omega \to 0}{\mathop{\lim }}\,|=\underset{\omega \to 0}{\mathop{\lim }}\,|\left| -\frac{1}{\lambda +\theta }\centerdot \frac{\sin \omega \theta }{\omega } \right|=\frac{\theta }{\lambda +\theta }.$

(12)

由式(10)与(12)可得内模PID控制器可调参数λ与系统鲁棒性能指标γ之间的关系为

$\lambda =\left( \gamma -1 \right)\theta .$

(13)

从式(13)可以看出,控制器可调参数λ可以由系统鲁棒性能指标γ的取值确定,避免了参数选择的盲目性。

4 仿真研究

例 1 考虑文献^[7-9]所研究的积分时滞对象

${{G}_{P1}}\left( s \right)=\frac{0.2}{s}{{e}^{-7.4s}},$

其中文献^[7] 采用的是二自由度控制器设计方法,并基于最大灵敏度指标计算PID参数。文献^[8-9]采用直接综合方法对时滞系统IMC-PI/PID参数进行整定。为保证比较的公平性,鲁棒性能指标γ均取2.5,文献^[7-9]方法中的参数整定结果见文献^[10],本研究中λ=(γ-1)θ=11.1,α取10000,进行控制器参数整定,利用式(8)可得K_p=0.27和T_i=10000。标称系统单位阶跃响应曲线如图 1所示,当t=200s时加入幅值为0.1的阶跃输入扰动,并利用时间乘以误差绝对值积分J_ITAE和超调量σ性能指标来验证系统闭环系统响应,如表 1所示。当过程模型产生+20％的误差时,即K=0.24,θ=8.88,系统输出单位阶跃响应曲线如图 2所示,可见本文方法具有较好的动态响应性能。

例 2 考虑二阶积分时滞过程

${{\tilde{G}}_{p2}}\left( s \right)=\frac{1}{s\left( s+1 \right)}{{e}^{-4s}},$

考虑到兼顾动态响应性能和鲁棒性而选择α=1000,γ=2.5。将本方法与文献^[9]中的方案对比。在标称情况下,标称系统输出的单位阶跃响应如图 3所示。当t=200s时加入幅值为0.5的阶跃输入扰动。当过程模型产生+20％的摄动时,系统输出的单位阶跃响应如图 4所示。

系统闭环系统响应由时间乘以误差绝对值积分J_ITAE和超调量σ性能指标来验证,如表 2所示。文献^[9]方法使得系统的J_ITAE指标略小于本研究方法,但其超调量过大,本研究方法在抑制扰动时,系统输出响应几乎没有超调。可见本研究的控制方法能使系统保持良好的鲁棒性。

5 结语

本研究针对积分时滞对象,给出了一种内模PID控制器的鲁棒整定方法。采用一阶环节逼近积分环节,用一阶泰勒级数逼近对象中的纯滞后项,推导得到IMC-PID控制器参数的设计公式,并基于鲁棒性能指标给出了简单的参数整定解析表达式。该方法结构简单、参数整定计算方便。仿真实例验证表明,所提出方法可以兼顾系统的设定值跟踪能力和抗负荷扰动能力,且具有良好的鲁棒稳定性。