0 引言

近年来, 随着人们对复杂网络中小世界特性的揭示, 越来越多的学科引入复杂网络理论对其领域进行应用和研究^[1-5], 如生命科学网络、经济管理网络、计算机网络^[6]、生物医学网络^[7]、流行性疾病传播网络^[8]、物流交通网络^[9]等。目前, 国内很多学者利用复杂网络的性质对城市公交网络^[10-12]、铁路网络^[13-14]、航空网络^[15-17]等不同领域的网络模型及其性质进行了一系列的研究:黄晓燕、张爽等分析了广州市地铁的时空演化特性对公交可达性的影响^[18]; 对于具有群体公平差异的公交网络, 戢晓峰、陈方等提出双层优化模型并加以分析^[19]; 在复杂网络的基础上, 李方伟等对网络的安全态势进行了预测^[20]; 邓亚娟、杨云峰等在复杂网络基础上对公路网络的结构特征进行了详尽的分析^[21]。随着规模的快速扩张, 高速公路的功能在交通领域中得到进一步强化、地位日益凸显重要, 但目前国内对发展日新月异、规模动态增长的高速公路网络性质的研究并不多。本文在复杂网络理论的基础上, 对我国高速公路网络性质进行了综合性研究, 考虑到我国高速公路网络规模具有不断扩大增长的特点, 提出了规模动态增长的高速公路网络模型, 对模型模拟的结果表明:该种类型高速公路网络的度分布曲线最终会演化成一条倾斜的直线, 具有近似幂律特征, 体现小世界性质。在此研究结果的基础上, 以不同的攻击方式移除网络中一定比例的节点后, 通过分析网络整体连通效能性的特征, 对江西省高速公路网络在不同攻击方式下的网络安全效能性进行分析和研究。

1 复杂网络统计量及高速公路网络 1.1 复杂网络的基本静态统计量

随着人们对不同领域、不同学科的复杂网络规模及其性质研究的不断深入, 不同程度地引入和应用许多新概念, 其中有3个代表网络最基本特征的静态统计量。

(1)度和度分布

节点的度k定义为在网络中与该节点有连接关系的所有边的数目。一个节点的度越大, 说明在网络中与该节点相连的边越多, 意味着这个节点的地位越重要。网络中所有节点度的平均值称为网络的节点平均度, 记为〈k〉。网络中节点的度分布用分布函数p(k)描述, 反映网络任一节点度恰好为k的概率分布, 体现该节点在网络中的重要程度。

(2)平均路径长度

网络中两个节点之间的距离d_ij定义为连接这两个节点的最短路径上边的数目。网络的直径D为网络中任意两个节点之间的距离的最大值, 即

$ D = \max {d_{ij}}. $

(1)

网络任意两个节点之间的距离的平均值称为网络平均路径长度L, 即

$ L = \frac{1}{{\frac{1}{2}N\left( {N + 1} \right)}}\sum\limits_{i > j} {{d_{ij}}} ， $

(2)

式中:N为网络节点的总数目。网络的平均路径长度反映网络的传输能力与传输效率。研究表明, 许多实际网络的节点数量巨大, 但是网络的平均路径长度却小得惊人。

(3)聚类系数

研究表明, 大多数的社会网络具有群聚结构的特征。假设网络中一个节点有k(i)条边和其它节点相连接, 这k(i)个节点称为该节点的相邻点, 很明显k(i)个节点之间最多只可能有k(i)(k(i)-1)／2条边, 则聚类系数C(i)定义为k(i)个节点之间实际存在的边数H_i与可能的总边数k(i)(k(i)-1)／2的比, 即:

$ {C_i} = \frac{{{H_i}}}{{{k_i}\left( {{k_i} - 1} \right)/2}} = \frac{{2{H_i}}}{{{k_i}\left( {{k_i} - 2} \right)}}. $

(3)

1.2 高速公路网络定义

随着我国高速公路建设的飞速发展, 高速公路的规模及其结构发生了巨大变化, 主要表现在3个方面:第一, 高速公路线路不断增多; 第二, 高速公路匝道出入口数量持续增加; 第三, 高速公路线路和匝道出入口、线路和线路、匝道出入口和匝道出入口之间的相互作用变得更为复杂, 如图 1所示(□表示匝道出入口, ════表示双向高速公路)。将高速公路上匝道出入口及立体交叉口抽象为网络中的节点, 将连接各匝道之间的高速公路抽象为网络的边, 这样映射出的复杂网络反映了高速公路和匝道之间相互联结的关系, 图 2所示为用原始法构建的图 1中高速公路网络拓扑结构示意图。

1.3 高速公路网络连通效能性

连通效能性是指在网络中所有节点之间至少存在一条连接路径的概率。对整个高速公路路网来说, 只要在任意两个节点之间存在一条连接路径即有一条线路能正常畅通就可认为该网络具有一定的连通效能性。网络尺度是指网络遭受攻击后形成的最大子网所能连通的节点数量, 表示随着节点的移除原有网络不连通的程度。网络遭受攻击后形成的子网数量越多, 则网络尺度越小, 说明网络分散的程度越高, 网络中节点之间的的连通效能性也越低, 网络的连通效能性指标

$ E = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^w {{N_i}\left( {{N_i} - 1} \right)} }}{{w\sum\limits_{i = 1}^w {{N_i}\left( {{N_i} - 1} \right)} {d_i}}}i， $

(4)

式中:E为网络连通效能性指标, 0≤E≤1, 当为全连通网络时, E=1, 当网络完全崩溃时, E=0;ω为移除节点和边后所形成的子网数量; N_i为第i个子网贯通的节点数量; d_i为第i个子网的平均最短路径。

2 网络模型构建及其特征分析

高速公路不仅是交通现代化的重要标志, 也是国家现代化的重要标志, 是专门为汽车交通服务的基础设施。自1988年第一条高速公路建成通车以来, 我国的高速公路建设步入了加速发展的快车道, 所以对高速公路网络模型复杂特性的研究具有非常重要的意义。

2.1 基于规模动态增长的高速公路网络模型

根据对我国近年来高速公路发展速度和规模态势的分析发现, 高速公路网络的演化过程与其他网络有所不同, 高速公路网络并非静态网络^[22-23], 网络规模的演化具有特殊性, 是以链的形式增长, 即增加一条新的高速线路会同时增加多个站点^[24-26]。在网络演化中, 通过增加新的节点及节点之间的连接边, 在原网络的基础上构建一个新网络模型, 为此考虑网络中节点和边都随时间动态增长的网络模型, 其构造算法如下:

(1)初始网络。具有m₀个节点和e₀条边。

(2)增长假设。第一次新加入一条边和附带m个节点(m < m₀)。

(3)在m₀个节点中选择M=m个节点作为局域世界, 新加入的节点与这m个节点全部连接, 这一步不存在择优性。

(4)第二次在已有m₀+m个节点的网络中加入一条边和附带m个节点。

(5)优先连接假设。新加入的节点以连接概率

$ p\left( {{k_i}} \right) = \frac{{2m}}{{{m_0} + m}}\frac{{{k_i}}}{{\sum\limits_j {{k_j}} }} $

(5)

在选择局域世界为M=2m个节点范围内选择m个节点与该新节点相连接。

以后每增加一条边, 网络中节点总数比上一次增加m个, 同时选取的局域世界内节点数比上一次也多m个。因此在时间t, 网络中总共有m₀+mt个节点, 局域世界中的节点数为M=mt。图 3为网络中的节点和边具有随时间动态增长特征的高速公路网络模型的演化示意图(图 3中表示每经过一个时间步长, 网络中增加3个节点和相应的连边)。

2.2 度和度分布的特征分析

针对高速公路不同的演化规模M, 结合式(5), 图 4给出了p(k)-k的关系图。由图 4可以看出, 当高速公路网络局域规模较小时(M=5, m=3), 网络的度分布曲线接近指数形式而呈现指数分布特征, 当局域世界规模由M=5增长到M=20时, 网络度分布曲线从一条趋于指数型曲线逐渐成为一条幂律型的直线, 因此可以推断, 当局域规模一直线性增长到M=m₀+t的规模时, 网络度分布曲线将会从最初的指数分布向无标度分布演化并最终成为无标度网络, 呈现幂律特征。由此可见, 高速公路网络的局域世界规模对度分布曲线的形状影响很大, 当网络规模较小时, 度分布曲线呈现拱型而趋于指数分布特征, 当局域规模由小到大持续增长时, 网络的度分布曲线发生明显变化, 曲线从一条指数型曲线逐渐成为一条幂律型直线, 这意味着网络规模越大, 相应的演化网络越不均匀, 最终趋于幂律形式而呈现无标度的特征, 具有小世界性网络特征。

3 江西省高速公路网络连通效能性

1996年1月昌九高速公路的开通标志着江西省高速公路建设实现了零的突破, 2004年实现出省主通道和省会至各市区公路的全部高速化, 2010年国家高速公路网在江西境内的线路全部开通建设, 通车总里程突破3 000 km。图 5为江西省2020年高速公路网规划示意图, 由图 5可以看出, 随江西省高速公路规模、结构的快速发展, 大大了提高公路网的整体技术水平, 优化了交通运输结构, 对缓解交通运输的“瓶颈”制约发挥重要作用, 有力促进了经济发展和社会进步。

3.1 江西省高速公路网络拓扑结构模型

连接高速公路匝道出入口的道路用连线表示, 匝道口及立体交叉口用节点表示, 用原始方法构建江西省高速公路的拓扑结构网络模型, 见图 6(拓扑图中○表示地市级城市的网络节点, □表示县级城市的网络节点), 模型构建过程遵循以下原则:(1)把出入不同城区或产业园区的匝道口、平纵横向三维空间的T型(或Y型)立体交叉口表示为网络中的节点, 但是高速公路中的服务区并不表示网络中的节点; (2)把具有圆曲线加踊特征的实际道路抽象为网络中的连线; (3)只考虑高速公路自通行的孤立性, 即不考虑与其他区域非高速公路的连通性; (4)不考虑节点的相似权, 即仅考虑边和节点之间的相互连接关系, 这种关系与实际线路的长度无关。(5)不考虑高速公路中的标志牌, 标线, 防眩网, 视线诱导网, 护栏, 隔离栅, 电缆, 监控、通信设施等对网络的影响。

3.2 高速公路网络连通效能性分析

不同性质的复杂网络在遭受不同方式的攻击时会体现不同的网络连通效能性, 最有效的攻击方式是能够让该网络分裂成最多的子图, 一般地, 网络在遭受连续性攻击时, 一次性被攻击失效的节点数量越多, 分裂的子网络数量越多, 网络遭受的破坏最大, 网络连通性也最差。为了研究高速公路网络在遭受不同方式攻击且节点失效情况下网络的连通效能性, 一般采用随机性攻击和选择性攻击的方式移除网络中的节点, 随机性攻击方式是指随机地去除网络中一些节点的方法, 选择性攻击是指有选择性地删除网络中的节点, 一般去除网络中度比较大、在网络中比较重要的节点。本文对江西省高速公路网络分别在随机性和选择性的方式下连续移除不同数量的节点, 分析网络连通效能性E与被攻击并失效的节点数占网络中总节点数的比例f之间的关系。

(1)遭受随机性攻击时的网络连通效能性

从图 5、6可以看出江西省高速公路网络拓扑结构中节点的分布特征:少数节点具有较大的度, 大部分节点度不高。为了研究网络在遭受随机性攻击时的连通效能性, 对网络中的所有节点按照一定的顺序和线路进行编号, 随机选择网络中的一个节点, 将该节点及与其相连的边全部删除, 反复试验, 直至网络完全崩溃。根据式(4)统计出E和f, 研究E与f之间的函数关系, 如图 7所示。

从图 7可以看出, 当网络遭受随机攻击后, f增大时, 图像基本呈现线性下降的特征, 当f达到0.08时, E下降到原来的一半; 当f达到0.2时, E降至0, 整个网络中的节点完全分隔成彼此之间没有关联的独立节点, 网络处于瘫痪状态。

(2)遭受选择性攻击时的网络连通效能性

网络中不同节点的度值是不一样的, 有选择性地对网络中度大的节点实施攻击使之失效并最终移除该节点。根据图 5、6, 可以找出江西省高速公路网络中度较大的地市级节点依次为南昌、九江、赣州、吉安、景德镇、上饶、萍乡, 县级节点依次为新余、寻乌、婺源、鹰潭、南城、石城、龙南、瑞金。依次选择网络中度较大的节点, 将该节点及与其相连的边全部删除, 反复试验, 直至网络完全崩溃。根据式(4)统计出E和f, 以此研究E与f之间的函数关系, 如图 8所示。

从图 8可以看出, 当网络中的节点遭受攻击并且f增大时, 图像下降的幅度非常大, E随f的增大而急剧下降, 当f达到0.038时, E就降至原来的一半; 当f达到0.08时, 网络中各个节点间已经没有任何连通性, E降为0, 整个网络中的节点完全分隔成彼此之间没有关联的独立节点, 网络处于崩溃状态, 由此可见遭受选择性攻击下的网络连通效能性更低。

从以上分析中可以看出, 不论何种攻击方式, E都是呈现下降态势, 网络遭受攻击并且失效的节点数目在增加, 网络中的平均路径长度和连通方式等均会发生相应的变化, 但网络中还有连边的存在, 这是由于网络具有一定的自我修复能力, 此时网络仍然具有一定的连通性, 但是当网络中移除的重要节点数量达到一定值时, 网络的连通性就会遭受巨大的影响。比较图 7、8能看出, 遭受随机攻击时的E-f曲线的斜率为0.7, 而遭受选择性攻击时的E-f曲线的斜率为1.75, 这说明相对遭受选择性攻击的网络, 遭受随机攻击时的网络具有一定的鲁棒性, 而遭受选择性攻击的网络连通效能性变化剧烈, 有可能在很短的时间内网络就处于崩溃状态。

4 结论

在复杂网络理论的基础上研究不同攻击方式下高速公路网络的连通效能性具有很强的理论意义和实用价值, 通过对目前高速公路发展的特点建立网络模型, 分析了该网络模型的度和度分布的特征, 并以随机性攻击和选择性攻击的方式移除网络的节点对江西省高速公路网络的连通效能进行定量研究, 得出了以下结论:

(1)根据网络规模的动态发展特征, 建立了高速公路网络模型, 对度和度分布的分析可知, 随着网络的动态发展, 网络节点之间的连接愈趋不均匀, 最终将成为无标度网络, 具有小世界特性;

(2)网络的连通效能性与移除节点的数量有很大的关系, 但遭受随机性攻击和选择性攻击时网络的连通效能大不一样。遭受随机性攻击时网络具有一定的鲁棒性, 而遭受选择性攻击时网络将在很短时间内连通效能性迅速降为, 网络处于崩溃状态;

(3)在实际的高速公路网络中, 对网络中重要节点的有效保护是积极有效、耗费成本最低的保护方式, 为高速公路的设计、建设及安全保障提供科学的依据。