0 引言

随着数字信息与互联网技术的迅速发展, 对通过互联网数字信息下载、复制、传播的安全性问题提出严重的挑战, 特别是保证图像信息安全更是未来加密算法研究的重要方向。目前, 数字图像加密算法主要分为空域和频域算法。空域算法的优点是加密后图像的大小不会发生变化, 加密过程中不会引入额外的图像畸变, 运算量较小; 频域算法一般存在数据精度的损失, 解密后引起图像失真。文献[1]采用N维仿射变换的图像加密算法; 文献[2]提出加密图像的自适应算法; 文献[3]提出基于Arnold变换图像置乱算法。文献[1-3]所提出的算法仅限于灰度图像, 加密算法比较单一, 没有综合运用扩散和置乱, 容易被攻击, 安全性较弱。文献[4]提出基于耦合二维分段混沌映射的彩色图像加密算法; 文献[5]提出基于一次时间密钥和鲁棒混沌映射的彩色图像加密; 文献[6]提出基于耦合非线性混沌映射的彩色图像加密。虽然文献[4-6]实现了彩色图像的加密, 但采用的算法中仅仅用混沌映射加密, 加密难度较低, 图像的安全性不高。因此本研究设计一种新型的彩色图像加密算法, 用复合混沌系统和仿射变换分别加密彩色图像的RGB分量, 并运用联合置乱和扩散算法加密, 增强图像的安全性、提高密钥空间和抵抗攻击的能力。

1 四进制复合混沌系统

混沌系统在多媒体信息加密方面得到了较广泛的应用, 但单一混沌系统会造成混沌退化, 而且算法仅依赖于混沌系统的简单结构和密钥, 破解难度较低。本研究提出通过tent映射和改写Logistic、Cubic、Chebychev映射构造四进制复合混沌系统^[7-9]。

四进制复合混沌系统构造方法:

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm{Chaos}}\;{\rm{1:}}{x_{n + 1}} = \lambda - \left( {1 + \lambda } \right)\left| {{x_n}} \right|;\\ {\rm{Chaos}}\;{\rm{2:}}{x_{n + 1}} = 1 - \left( {1.5 + \lambda } \right)x_n^2;\\ {\rm{Chaos}}\;{\rm{3:}}{x_{n + 1}} = \left( {3.5 + \lambda } \right)x_n^3 - \left( {2.5 + \lambda } \right){x_n};\\ {\rm{Chaos}}\;{\rm{4:}}{x_{n + 1}} = \cos \left[{\left( {2 + 100\lambda } \right)\arccos \left( {{x_n}} \right)} \right]. \end{array} \right. $

(1)

$ {Q_j} = \left\{ \begin{array}{l} 11\quad {\rm{Chaos}}{1_j} > {\rm{Chaos}}{2_j}且{\rm{Chaos}}{3_j} > {\rm{Chaos}}{4_j};\\ 10\quad {\rm{Chaos}}{1_j} > {\rm{Chaos}}{2_j}且{\rm{Chaos}}{3_j} \le {\rm{Chaos}}{4_j};\\ 01\quad {\rm{Chaos}}{1_j} \le {\rm{Chaos}}{2_j}且{\rm{Chaos}}{3_j} > {\rm{Chaos}}{4_j};\\ 00\quad {\rm{Chaos}}{1_j} \le {\rm{Chaos}}{2_j}且{\rm{Chaos}}{3_j} \le {\rm{Chaos}}{4_j}. \end{array} \right. $

(2)

其中:λ∈(0, 0.5), x₀∈(-1, 1), j=1, 2, ,…, n, 则四进制复合混沌序列为Q｛Q_1, Q_2, …, Q_n｝, 用四进制复合混沌序列实现数据加密处理, 克服加密算法被破译的可能性。

2 仿射变换

仿射变换采用三维类仿射变换, 三维类仿射变换方程组的系数为实数, 构造灵活复杂使得图像信息的安全性得到提高。

定义有限整数域上的三维类仿射变换为

$ \begin{array}{l} \quad \quad \;\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {x'}\\ {y'}\\ {z'} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_0}\quad {b_0}\quad {c_0}}\\ {{a_1}\quad {b_1}\quad {c_1}}\\ {{a_2}\quad {b_2}\quad {c_2}} \end{array}} \right|\left| {\begin{array}{*{20}{l}} x\\ y\\ z \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{d_0}}\\ {{d_1}}\\ {{d_2}} \end{array}} \right|\,\bmod \,\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{m_0}}\\ {{m_1}}\\ {{m_2}} \end{array}} \right| = \\ \left| {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\lfloor {{a_0}x + {b_0}y + {c_0}z + 0.5} \right\rfloor }\\ {\left\lfloor {{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + 0.5} \right\rfloor }\\ {\left\lfloor {{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + 0.5} \right\rfloor } \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\lfloor {{d_0} + 0.5} \right\rfloor }\\ {\left\lfloor {{d_1} + 0.5} \right\rfloor }\\ {\left\lfloor {{d_2} + 0.5} \right\rfloor } \end{array}} \right|\,\bmod \,\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{m_0}}\\ {{m_1}}\\ {{m_2}} \end{array}} \right|, \end{array} $

(3)

其中:｛a_0, b_0, c_0, d_0, a_1, b_1, c_1, d_1, a_2, b_2, c_2, d₂｝为实数, ｛m₀, m₁, m₂｝为正整数, ｛x′, y′, z′, x, y, z｝为非负整数且｛x′, x｝∈[0, m₀-1], ｛y′, y｝∈[0, m₁-1], ｛z′, z｝∈[0, m₂-1], $\left\lfloor \,\right\rfloor$表示取整运算。

对式(3)参数进行适当设置, 可以得到式(4)或式(5):

$ \left| \begin{array}{l} {x'}\\ {y'}\\ {z'} \end{array} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + {a_1}n{q_1}}&{n{q_1}}&0\\ {{a_1}}&1&0\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|\left| \begin{array}{l} x\\ y\\ z \end{array} \right| + \left| \begin{array}{l} {d_0}\\ {d_1}\\ {d_2} \end{array} \right|\bmod \left| \begin{array}{l} {m_0}\\ {m_1}\\ {m_2} \end{array} \right|, $

(4)

$ \left| \begin{array}{l} {x'}\\ {y'}\\ {z'} \end{array} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{b_0}}&0\\ {n{q_2}}&{1 + {b_0}n{q_2}}&0\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|\left| \begin{array}{l} x\\ y\\ z \end{array} \right| + \left| \begin{array}{l} {d_0}\\ {d_1}\\ {d_2} \end{array} \right|\bmod \left| \begin{array}{l} {m_0}\\ {m_1}\\ {m_2} \end{array} \right|, $

(5)

其中: q₁=m₀／gcd(m₀, m₁), q₂=m₁／gcd(m₀, m₁), a₁∈Z₁, b₀∈Z₀, nq₁∈Z₀, nq₂∈Z₁, 1+a₁nq₁∈Z₀, 1+b₀nq₂∈Z₁, gcd(c₂, m₂)=1, 为简化计算｛a₂, b₂, c₂, d₀, d₁, d₂｝取为整数, Z₀为模m₀的剩余类, Z₁为模m₁的剩余类。用式(3)～式(5)不仅实现了像素位置置乱, 而且实现了像素值的置换^[9]。

3 加密算法设计

(1)根据式(1)确定4个混沌序列的初始参数x₀和λ, 初始值共8个参数, 由式(2)生成复合混沌序列Q。设置24个参数分别产生加密RGB分量的复合混沌序列Q_r0(红色)、Q_g0(绿色)和Q_b0(蓝色), 随机取3个整数k_r0、k_g0和k_b0作为序列的截取点。

(2)将原始彩色图像i₀读到M×N×3三维矩阵P₀中, P₀=[R₀, G₀, B₀], 其中: R₀、G₀、B₀分别表示二维红、绿、蓝矩阵, 像素的值为0到255。

(3)将P₀置换成P₁, 即由P₀和对应的复合混沌序列异或生成加密图像。在生成复合混沌序列的过程中根据每一行像素值对x₀和λ进行扰动, 第一行扰动第二行, 逐行扰动, 最后一行扰动第一行, 以实现像素值的扩散, 其扰动公式为:x₀₁=[x₀+(k₀+1)／255]／2, λ₁=[λ+(k₀+1)／510]／2, 其中:k₀是一行像素的平均值。

$ \begin{array}{l} {R_1} = {R_0} \oplus {Q_{{\rm{r}}0}};\\ {G_1} = {G_0} \oplus {Q_{{\rm{g}}0}};\\ {B_1} = {B_0} \oplus {Q_{{\rm{b}}0}};\\ {P_1} = \left[{{R_1},{G_1},{B_1}} \right]. \end{array} $

其中:R₁、G₁、B₁分别为R₀、G₀、B₀经复合混沌加密后的图像; P₁是由R₁、G₁、B₁构成的复合混沌加密图像。

(4)根据式(3)～(5)将置换图像P₁置换成P₂, 分别设计仿射变换的初始参数生成RGB仿射变换方程组A_r1、A_g1和A_b1, 并对RGB分量进行不同的变换次数。

R₂=R₁三维类仿射变换A_r1, 变换次数N_r1;

G₂=G₁三维类仿射变换A_g1, 变换次数N_g1;

B₂=B₁三维类仿射变换A_b1, 变换次数N_b1;

P₂=[R₂、G₂、B₂]。

其中: P₂是由R₂、G₂、B₂构成的仿射变换加密图像。

(5)对P₂进行联合置换生成P_u1, 设置24个参数分别产生加密RGB分量的复合混沌序列Q_r1(红色)、Q_g1(绿色)和Q_b1(蓝色), 随机取3个整数k_r1、k_g1和k_b1作为序列的截取点。P₂数组和对应的扰动复合混合混沌序列异或加密处理。

将R₂分解成R₂=[R_left、R_centrer、R_right]三部分, 其中: R_left、R_centrer、R_right为R₂矩阵的左边、中间和右边的三分之一;

将G₂分解成G₂=[G_left、G_centrer、G_right]三部分, 其中: G_left、G_centrer、G_right为G₂矩阵的左边、中间和右边的三分之一;

将B₂分解成B₂=[B_left、B_centrer、B_right]三部分, 其中: B_left、B_centrer、B_right为B₂矩阵的左边、中间和右边的三分之一。

R_u0=[R_left、G_center、B_right];

G_u0=[G_left、B_center、R_right];

B_u0=[B_left、R_center、G_right]。

R_u1=R_u0⊕Q_r1;

G_u1=G_u0⊕Q_g1;

B_u1=B_u0⊕Q_b1;

P_u1=[R_u1, G_u1, B_u1]。

其中: R_u1、G_u1、B_u1是由R_u0、G_u0、B_u0复合混沌加密后的图像; P_u1是由R_u1、G_u1、B_u1构成的复合混沌加密图像。

(6)对P_u1进行联合置乱生成加密彩色图像P_u2, 分别对R_u1, G_u1, B_u1矩阵进行A_r2、A_g2、A_b2仿射变换, A_r2、A_g2、A_b2是分别设计仿射变换的初始参数生成RGB仿射变换方程组。

R_u2=R_u1仿射变换A_r2, 变换次数N_r2;

G_u2=G_u1仿射变换A_g2, 变换次数N_g2;

B_u2=B_u1仿射变换A_b2, 变换次数N_b2;

P_u2=[R_u2、G_u2、B_u2]。

其中: P_u2是由R_u2、G_u2、B_u2构成的仿射变换加密图像。

经过以上步骤, 完成了一次加密过程, 根据图像安全等级, 可以增加加密的次数, 最终得到加密图像i₁^[10]。解密过程是加密过程的逆过程, 其彩色图像的加密过程如图 1。

4 加密仿真试验 4.1 加密结果

应用MATLAB7.0平台实现了本研究提出的加密算法, 彩色图像为512×512的bmp文件, 分别选择水印(baboon)、风景(花草和青山)和人物(男女卡通)图像为例进行加密处理, 其加密一次的结果如图 2, 通过视觉分析图 2很难辩别出加密前的图像。

4.2 密钥空间分析

加密算法中密钥参数包括Chaos1到Chaos4复合混沌公式共8个实数, 实数取10位有效数字, 截取复合混沌序列有效起始位为3位整数, 两次复合混沌置换, 则RGB分量中一个分量的复合混沌密钥空间为10^3×2×10^10×8×2=10¹⁶⁶; 三维类仿射变换的初始参数为:q₁(或q₂), a₁(或b₀), n由m₀、m₁、m₂和对应剩余类决定, 这些参数构成的密钥空间省略, 图像仿射变换初始变换次数为3位整数, a₂, b₂, c₂, d₀, d₁, d₂设为2位整数, 考虑两次仿射变换密钥空间, 则RGB分量中一个分量的仿射变换的密钥空间为10^3×2×10^2×6×2=10³⁰。因此一次加密过程的密钥空间是10¹⁶⁶×10³⁰=10¹⁹⁶>2⁴⁹⁸, 用穷举攻击来解密图像是相当困难。如果要提高图像的安全等级, 可以通过多次加密实现。本研究密钥空间与其他文献加密空间比较如表 1所示, 分析表 1可知本研究加密算法具有较大的密钥空间。

4.3 直方图分析

加密前后图像的直方图如图 3, 通过分析图 3看出加密前RGB分量直方图分布是有规律的, 加密后RGB分量直方图分布规律非常均匀, 无法辨认加密前的分布规律, 因此可有效地抵抗统计分析的攻击。

4.4 相邻像素相关性计算

加密效果可以用相邻像素的相关性来进行评价, 相关性越小加密效果越好, 其离散化计算相关系数的公式为:

$ \left\{ \begin{array}{l} r\left( {x,y} \right) = \frac{{\left| {{\mathop{\rm cov}} \left( {x,y} \right)} \right|}}{{\sqrt {D\left( x \right)} \sqrt {D\left( y \right)} }},\\ {\mathop{\rm cov}} \left( {x,y} \right) = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{x_i} - E\left( x \right)\left( {{y_i} - E\left( y \right)} \right),} \right.} \\ E\left( x \right) = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{x_i}} ,\\ D\left( x \right) = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left( {{x_i} - E\left( x \right)} \right)}^2}} . \end{array} \right. $

(6)

式中:x、y表示相邻两个像素的值。本研究计算了水印、风景和人物彩色图像加密前后RGB分量平均水平、垂直和对角相关性, 并与其它文献进行了比较, 表明本研究算法加密相关性均有明显的提高, 计算结果如表 2。

4.5 密钥敏感性

通过密钥参数的微小变化来对加密图像进行解密, 测试算法的密钥敏感性。图 4是Chaos1到chaos4的λ、x₀参数分别改变1×10^-15对baboon加密彩色图像的解密结果, 解密得到的图像无法视别出原始图像, 证明算法具有较强的密钥敏感性。

4.6 密文敏感性

通过计算像素改变率R_npc和平均变化强度I_uac来评价密文敏感性。设原始图像i₀的加密图像为i₁, i₀的某个像素的值加1或减1再进行加密处理得到加密图像i₂, 根据i₁和i₂计算R_npc和I_uac来分析密文敏感性。其R_npc和I_uac的计算公式为:

$ \left\{ \begin{array}{l} {R_{{\rm{npc}}}} = {\left( {MN} \right)^{ - 1}}\left( {\sum\limits_{i = 1}^M {\sum\limits_{j = 1}^M {q\left( {i,j} \right)} } } \right) \times 100\% ,\\ {I_{{\rm{uac}}}} = {\left( {255 \times MN} \right)^{ - 1}} \times \\ \quad \quad \left( {\sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{j = 1}^M {\left| {{i_1}\left( {i,j} \right) - {i_2}\left( {i,j} \right)} \right|} } } \right) \times 100\% . \end{array} \right. $

(7)

当i₁(x, y, z)=i₂(x, y, z)时, 则q(i, j)=0, 否则q(i, j)=1。根据上式分别计算了水印、风景和人物图像RGB分量的R_npc和I_uac, 见表 3。R_npc的平均值>99％, I_uac的平均值>37％, 证明本研究算法具有抵抗差分攻击的能力。

4.7 信息熵计算

信息熵可以用来度量图像中像素值的分布情况, 像素值分布越均匀信息熵越大, 反之信息熵越小, 信息熵的最大值为8。其信息熵的计算公式为:

$ H\left( m \right) = \sum\limits_{i = 0}^{255} {p\left( {{m_i}} \right) \times 1{\rm{b}}\left( {1/p\left( {{m_i}} \right)} \right)} , $

(8)

其中: p(m_i)为出现m_i的概率, m_i某点像素的值。根据上式分别计算了水印、风景和人物彩色图像RGB分量的平均信息熵如表 4所示, 计算结果表明加密后像素值分布均匀, 算法具有较强的抵抗统计攻击的能力。

4.8 峰值信噪比计算

通过峰值信噪比来衡量加密后对原始图像的掩盖程度, 峰值信噪比的计算公式为:

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm{PSNR = 101}}{{\rm{g}}^{\left( {{{255}^2}/{\rm{MSE}}} \right)}},\\ {\rm{MSE = }}{\left( {MN} \right)^{ - 1}}\sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{j = 1}^M {{{\left( {{i_0}\left( {i,j} \right) - {i_1}\left( {i,j} \right)} \right)}^2}} } \end{array} \right. $

(9)

其中:i₀表示原始图像, i₁表示加密后的图像, 根据上式分别计算水印、风景和人物图像RGB分量的平均峰值信噪比为8.808 2、7.280 4和7.281 5 dB, 当峰值信噪比小于20 dB时加密图像就完全无法辨认, 所以本研究提出的加密算法对原始图像具有较好的掩盖性。

4.9 相似度计算

原始图像与加密图像相似度越小, 可辨认性越低, 保密性越强。相似度的计算公式为:

$ \begin{array}{l} {\rm{XSD = 1}} - \sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{j = 1}^M {\left( {{i_1}\left( {i,j} \right) - {i_0}{{\left( {i,j} \right)}^2}/} \right.} } \\ \quad \quad \quad \;\,\sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{j = 1}^M {\left. {{i_0}{{\left( {i,j} \right)}^2}} \right)} } , \end{array} $

(10)

其中:i₀表示原始图像, i₁表示加密后的图像, 当i₀和i₁相同时, XSD等于1。根据式(10)分别计算水印、风景和人物图像RGB分量的平均相似度为0.543 8、0.058 1和0.685 2, 计算结果表明相似度较小, 明密图像差异显著, 隐藏性较强。文献[9]计算的相似度小于0.646, 本研究算法人物图像比文献[9]略高0.039 2。

5 结论

根据本研究提出的算法利用matlab7.0平台分别对lena、baboon、peppers彩色图像、internet上下载的风景、人物和植物等50多幅彩色图像进行了加密仿真试验, 其直方图、相邻像素相关性、密文敏感性、信息熵、峰值信噪比和相似度的计算结果表明加密图像后密钥空间大, 无法辨认加密前的分布规律, 相似度和相关性小, 具有抵抗差分和统计分析的攻击的能力。算法加密安全性高, 速度快, 在军事和电子商务领域具有较高的应用价值。

本研究的创新点:(1)提出了四进制复合混沌序列生成模型, 提高了加密算法被破译的难度。(2)设计了三维仿射变换的数学模型, 实现了像素位置置乱和像素值的置换。(3)设计了彩色图像RGB分量的单独、联合置乱和扩散加密方案, 提高了算法抵抗攻击的能力。