0 引言

目前的城市道路交通网络十分脆弱,一旦发生突发事件,极易引发大面积的交通拥堵甚至瘫痪,应急救援工作难以展开,将会引发更为严重的社会危害。发生突发事件时,选取应急疏散路线,实施科学、快速、有效的交通组织管理方案,是公安交通管理专业人士关注的焦点。面对突发事件发生时出行者出行策略的改变,决策者的交通流路径分配原则也应做出相应调整。与之相关的研究众多^[1-5],取得了一定的成果,但仍存在不足之处:(1) 研究者多采用动态交通流分配模型,该模型对疏散问题的描述很直观,但由于模型所需获得的控制参数变化较大,且模型多数较复杂,条件苛刻,使得实用性不强。(2) 多数模型假设条件过于理想化,如假设随时间变化的出行需求量事先确定,与路网上的交通状况无关,这个假设与实际情况不符。(3) 模型多以“系统最优”为目标,充分考虑了配流结果的准确性,但忽略了突发事件发生后交通需求量的结构性变化,即疏散需求量的不变性、路网原有需求量的可变性。

鉴于此,本研究从突发事件发生后交通需求量发生的结构性变化特点入手,认为疏散需求量是固定不变的,而路网原有的交通需求量是随出行阻抗时间变化的,尤其当疏散需求必须分配到路网中后,变化更为明显。以模型的求解算法实用简单为原则,以整个交通网络系统总出行时间最小为目标,运用最优化理论与方法,分析突发事件发生后不变的疏散需求量与可变的原有路网出行需求量对交通网络分配的定量关系,从而为交通管理者应对突发事件制定交通管理组织方案提供理论依据。

1 突发事件对交通需求的影响

突发事件会对交通需求产生很大的影响,会使交通需求在网络上重新调整,发生结构性变化^[6]。首先,突发事件发生后,事件涉及路网区域内的道路通行能力极有可能受到冲击;其次,突发事件发生后,往往会引起社会公众的恐慌心理、从众心理和非理性状态,日常的交通需求会出现锐减,而追求安全保障的交通需求会骤增,某些非危险性的突发事件甚至会吸引公众前往。

突发事件发生后,会引起危险区域内出行需求量剧增,出行者都选择从危险区域逃离到安全区域,即疏散需求。该部分需求量可以根据危险区域内人口数量来确定,因此,对于交通管理者来说,疏散需求量是突发事件发生后必须要疏散出去的量,是固定不变的。

突发事件发生后,路网中非危险区域内出行者的出行选择需求会受到直接影响。在突发事件下,出行者选择是否出行、出行路径、目的地等的规律和正常状态下是不同的,出行者考虑更多的是出行安全和路网的可靠性。因此,该部分非危险区域内交通需求是随路网阻抗时间变化的。

基于以上分析,本研究所提疏散路径模型将交通需求量分为固定需求量(疏散需求)与可变需求量(非危险区域路网交通需求)两部分。

2 系统最优疏散路径分配模型 2.1 模型

突发事件发生后,整个区域交通系统处于非常规状态,所有出行者的路径选择行为应该听从交通指挥调度中心统一协调,目的是形成区域交通网络总出行时间最小的网络流状态,该交通网络流状态通常称为系统最优。在系统最优状态下,交通网络资源得到最优利用,交通网络效益得到最大限度发挥。因此,以“系统最优”为目标的疏散路径分配模型假设条件为所有出行者统一听从交通指挥调度中心的协调管理,实际情况中也是需要根据该模型计算结果,制定交通组织应急方案。

交通需求量分为固定需求量与可变需求量,所建立模型中的需求函数由这两部分组成,非负、连续、有下限(下限为固定需求量)和上限(上限为该区域人口规模或汽车保有量),且严格递减。需求函数可采用文献^[7]中建议的形式。

系统最优疏散路径分配模型为

$\min :Z\left( X \right)=\sum\limits_{a}{{{x}_{a}}{{t}_{a}}\left( {{x}_{a}} \right)}-\sum\limits_{rs}{\int_{0}^{{{D}_{rs}}}{{{F}_{rs}}\left( v \right)\text{d}v,}}$

(1)

$\text{s}\text{.t}\text{.:}\sum\limits_{k}{f_{k}^{rs}}={{D}_{rs}},\forall r,s,k,$

(2)

${{D}_{rs}}={{D}_{rs0}}+{{D}_{rs1}},\forall r,s,$

(3)

${{D}_{rs1}}\ge 0,f_{k}^{rs}\ge 0,\forall r,s,k,$

(4)

${{x}_{a}}=\sum\limits_{r,s}{\sum\limits_{k}{f_{k}^{rs}\cdot x_{a,k}^{r,s}}},\forall a$。

(5)

模型中:x_a为路段a上的交通流量;t_a为路段a的交通阻抗;t_a(x_a)为路段a以流量为自变量的交通阻抗函数^[8]; D_rs为出行需求函数;D_rs0为固定出行需求量,即突发事件发生后需要疏散的交通量;D_rs1为可变需求量,随阻抗时间t变化;F_rs(·)为出行需求函数的反函数;D_rs为起点r到终点s的总出行量的上限;f_k^rs为点对(r,s)间第k条路径的流量;χ_a,k^r,s为关系变量,若路段a在(r,s)间的第k条路径上,χ_a,k^r,s=1,否则,χ_a,k^r,s=0。

2.2 模型的解与部分变需求的系统最优条件之间的等价性

要说明最优化问题(1)的解符合系统最优条件,需要从数学规划问题的最优化条件即Kuhn-Tucker条件出发。Kuhn-Tucker条件,简单的说就是数学规划问题的最优化条件。数学规划问题(1)是有约束最优化问题,需要把有约束问题转换成无约束问题的形式^[9-10]。为此,定义拉格朗日函数

$L\left( f,D,\gamma \right)=Z\left[ X\left( f \right),D \right]+\sum\limits_{rs}{{{\gamma }_{rs}}\left( {{D}_{rs}}-\sum\limits_{rs}{f_{k}^{rs}} \right)},$

(6)

式中,γ_rs是关于OD对(r,s)间流量守恒式(2)的拉格朗日乘子。根据Kuhn-Tucker条件,该拉格朗日函数的最优化条件是:

$\left\{ \begin{align} & f_{k}^{rs}\frac{\partial L}{\partial f}=0,\forall r,s,k, \\ & \frac{\partial L}{\partial f}\ge 0,\forall r,s,k, \\ & f_{k}^{rs}\ge 0,\forall r,s,k, \\ \end{align} \right.$

(7)

对于D_rs,由于D_rs=D_rs0+D_rs1,

$\left\{ \begin{align} & {{D}^{rs}}\frac{\partial L}{\partial D}=0,\forall r,s, \\ & \frac{\partial L}{\partial D}\ge 0,\forall r,s, \\ & {{D}_{rs}}\ge {{D}_{rs0}},\forall r,s, \\ \end{align} \right.$

(8)

$\frac{\partial L}{\partial {{\gamma }_{rs}}}=0,\forall r,s$。

(9)

定义贡献交通网络总出行时间的边缘出行时间

${{t}_{a}}\left( {{x}_{a}} \right)={{t}_{a}}\left( {{x}_{a}} \right)+{{x}_{a}}\frac{\text{d}{{t}_{a}}\left( {{x}_{a}} \right)}{\text{d}{{x}_{a}}},\forall a,$

式中:t_a(x_a)表示当路段总流量为x_a时,新增的出行者通过该路段的出行时间;$\frac{\text{d}{{t}_{a}}\left( {{x}_{a}} \right)}{\text{d}{{x}_{a}}}$表示新增的出行者使路段a上已有出行者额外承担的出行时间。定义OD对(r,s)间第k条路径对交通网络总出行时间贡献的边缘出行时间,$\tilde{c}_{k}^{rs}=\sum\limits_{a}{{{{\tilde{t}}}_{a}}\left( {{x}_{a}} \right)}\chi _{a,k}^{r,s}$。同时,考虑到${{x}_{a}}=\sum\limits_{r,s}{\sum\limits_{k}{f_{k}^{rs}\cdot }\chi _{a,k}^{r,s}}$,则有:

$\begin{align} & \frac{\partial L}{\partial f}=\frac{\partial }{\partial f}\left( \sum\limits_{a}{{{x}_{a}}{{t}_{a}}\left( {{x}_{a}} \right)} \right)-\frac{\partial }{\partial f}\left( \sum\limits_{rs}{\int_{0}^{{{D}_{rs}}}{{{F}_{rs}}\left( \omega \right)\text{d}\omega }} \right)-{{\gamma }_{rs}}= \\ & \sum\limits_{a}{\frac{\partial {{x}_{a}}{{t}_{a}}\left( {{x}_{a}} \right)}{\partial {{x}_{a}}}\frac{\partial {{x}_{a}}}{\partial f}-\frac{\partial }{\partial f}\left( \sum\limits_{rs}{\int_{0}^{{{D}_{rs}}}{{{F}_{rs}}\left( \omega \right)\text{d}\omega }} \right)}-{{\gamma }_{rs}}= \\ & \sum\limits_{a}{\chi _{a,k}^{r,s}\frac{\partial }{\partial {{x}_{a}}}\sum\limits_{a}{{{x}_{a}}{{t}_{a}}\left( {{x}_{a}} \right)}}-\frac{\partial }{\partial f}\left( \sum\limits_{rs}{\int_{0}^{{{D}_{rs}}}{{{F}_{rs}}\left( \omega \right)\text{d}\omega }} \right)-{{\gamma }_{rs}}= \\ & \sum\limits_{a}{\chi _{a,k}^{r,s}\left[ {{t}_{a}}\left( {{x}_{a}} \right)+{{x}_{a}}\frac{\text{d}{{t}_{a}}\left( {{x}_{a}} \right)}{\text{d}{{x}_{a}}} \right]}-\frac{\partial }{\partial f}\left( \sum\limits_{rs}{\int_{0}^{{{D}_{rs}}}{{{F}_{rs}}\left( \omega \right)\text{d}\omega }} \right)-{{\gamma }_{rs}}=\tilde{c}_{k}^{rs}-{{\gamma }_{rs}}, \\ \end{align}$

(10)

$\frac{\partial L}{\partial D}=-{{F}_{rs}}\left( {{D}_{rs}} \right)+{{\gamma }_{rs}},$

(11)

因此,式(4)可简化为:

$\left\{ \begin{align} & f_{k}^{rs}\left( \tilde{c}_{k}^{rs}-{{\gamma }_{rs}} \right)=0,\forall k,r,s, \\ & \tilde{c}_{k}^{rs}-{{\gamma }_{rs}}\ge 0,\forall k,r,s, \\ & f_{k}^{rs}\ge 0,\forall k,r,s, \\ \end{align} \right.$

(12)

$\left\{ \begin{align} & \left( {{D}_{rs}}-{{D}_{rs0}}\left[ {{\gamma }_{rs}}-{{F}_{rs}}\left( {{D}_{rs}} \right) \right]=0,\forall r,s, \right. \\ & {{\gamma }_{rs}}-{{F}_{rs}}\left( {{D}_{rs}} \right)\ge 0,\forall r,s, \\ & {{D}_{rs}}\ge {{D}_{rs0}},\forall r,s, \\ \end{align} \right.$

(13)

$\sum\limits_{k}{f_{k}^{rs}={{D}_{rs}},{{D}_{rs}}={{D}_{rs0}}+{{D}_{rs1}},}\forall r,s$。

(14)

式(12)表明,若OD对(r,s)间的某条路径上有流量,那么该路径的边缘出行时间等于该OD对间的最短边缘出行时间;若该路径上没有流量,那么其边缘出行时间一定大于或等于最短边缘出行时间。式(13)可类似的解释为,若OD对(r,s)间有除了固定出行需求(即疏散需求)以外的出行需求(即可变需求),即D_rs>D_rs0,那么γ_rs-F_rs(D_rs)=0,或写成D_rs=D_rs(γ_rs),亦即满足出行需求函数;若D_rs=D_rs0,那么γ_rs≥F_rs(D_rs),亦即OD对(r,s)间的出行时间过高,只有固定出行需求而无法诱发任何的可变出行需求。因此,就证明了数学规划模型(1)的解满足系统最优条件和出行需求函数(包含固定需求和可变需求两部分)。

2.3 模型解的存在性和唯一性

模型(1)的约束集由线性等式约束和非负约束组成,因此是一凸集,若目标函数式(1)也是一个凸函数,则由最优化理论可知,该模型就是一个凸规划问题,它的任意局部最优解必是全局最优解,即最优目标函数值唯一^[11]。又若目标函数是严格凸函数,那么模型就是一个严格凸函数问题,其最优解唯一。因此,只需要证明模型目标函数(1)是严格凸函数。

该目标函数的第一项$\sum\limits_{a}{{{x}_{a}}{{t}_{a}}\left( {{x}_{a}} \right)}$对x_b一阶偏导数为

$\frac{\partial }{\partial {{x}_{b}}}\sum\limits_{a}{{{x}_{a}}{{t}_{a}}\left( {{x}_{a}} \right)}={{t}_{b}}\left( {{x}_{b}} \right)+{{x}_{b}}\frac{\text{d}{{t}_{b}}\left( {{x}_{b}} \right)}{\text{d}{{x}_{b}}}$。

(15)

假设路段出行时间只与其自身路段流量有关,$\frac{\partial {{t}_{b}}}{\partial {{x}_{a}}}=0,\forall a\ne b$,于是有:

$\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{x}_{b}}\partial {{x}_{a}}}\sum\limits_{a}{{{x}_{a}}{{t}_{a}}\left( {{x}_{a}} \right)}=\frac{\partial }{\partial {{x}_{a}}}\left[ {{t}_{b}}\left( {{x}_{b}} \right)+{{x}_{b}}\frac{\text{d}{{t}_{b}}\left( {{x}_{b}} \right)}{\text{d}{{x}_{b}}} \right]=\left\{ \begin{matrix} 2\frac{\text{d}{{t}_{a}}\left( {{x}_{a}} \right)}{\text{d}{{x}_{a}}}+{{x}_{a}}\frac{{{\text{d}}^{2}}{{t}_{a}}\left( {{x}_{a}} \right)}{\text{d}x_{a}^{2}}, & a=b, \\ 0, & a\ne b \\ \end{matrix} \right.$。

(16)

所以,目标函数第一项的Hessian矩阵为一对角阵,由于路段时间阻抗函数是流量的严格增函数,得该Hessian矩阵所有的对角元素为正值,Hessian矩阵正定,即,目标函数第一项$\sum\limits_{a}{{{x}_{a}}{{t}_{a}}\left( {{x}_{a}} \right)}$为严格凸函数。

需求函数D_rs是关于时间的严格递减函数,其反函数的单调性保持不变,其积分是一个严格凹函数,其负值必是严格凸的,所以目标函数第二项是一严格凸函数。

因此,模型目标函数(1)是严格凸函数,有唯一最优路段流量和OD出行量。

2.4 模型的算法思路及步骤

前文假定区域内的人口规模和汽车保有量是有上限的,所以记OD对(r,s)间的出行需求量上限为D_rs。用凸组合法(可行下降法)求解该数学规划问题,第n次迭代时的下降方向向量是由从当前解到目标函数线性逼近表达式解的方向确定^[12]。从线性逼近表达式得出的线性规划是用一组辅助变量来表示的。模型中的变量是路径流量｛f_k^rs｝及相应的路段流量｛x_a｝,与之对应的辅助变量定义为｛g_k^rs｝和｛y_a｝。具体计算步骤^[18-22]如下:

步骤 1 初始化。找一个初始可行交通流模式｛x_aⁿ｝,｛D_rsⁿ¹｝,令n=1。

步骤 2 更新。令t_aⁿ=t_a(x_aⁿ),∀a,计算F_rs(D_rsⁿ),∀r,s。

步骤 3 确定下降方向。计算基于出行时间｛t_aⁿ｝的OD对(r,s)间的最短路径m和相应的最短边缘出行时间$\gamma _{rs}^{n}=\tilde{c}_{k}^{rsn}\min \left\{ \tilde{c}_{k}^{rsn} \right\}$,再比较γ_rsⁿ 与F_rs(D_rsⁿ)的大小。若$\tilde{c}_{m}^{rsn}<{{F}_{rs}}\left( D_{rs}^{n} \right)$),则$g_{m}^{rsn}={{D}_{rs}},g_{k}^{rsn}=0,\forall k\ne m$;若$\tilde{c}_{m}^{rsn}={{F}_{rs}}\left( D_{rs}^{n} \right)$,则g_m^rsn 可取0或D_rs。所以可得到分配的辅助交通流模式为$\left\{ y_{a}^{n}=\sum\limits_{rs}{\sum\limits_{k}{g_{k}^{rsn}\chi _{a,k}^{r,s}}} \right\},\forall a$和$\left\{ v_{rs}^{n}=\sum\limits_{k}{g_{k}^{rsn}} \right\},\forall r,s$。

步骤 4 确定步长。求解下面的一维搜索问题:

$\underset{0\le \lambda \le 1}{\mathop \min }\,Z\left( \lambda \right)=\sum\limits_{a}{\int_{0}^{x_{a}^{n}+\lambda \left( y_{a}^{n}-x_{a}^{n} \right)}{{{{\tilde{t}}}_{a}}\left( v \right)\text{d}v}}-\sum\limits_{rs}{\int_{{{D}_{rs0}}}^{D_{rs}^{n}+\lambda \left( v_{rs}^{n}-D_{rs}^{n} \right)}{{{F}_{rs}}\left( \omega \right)\text{d}\omega \text{,}}}$

得到步长λ_n。

步骤 5 流量更新。令$x_{a}^{n+1}=x_{a}^{n}+{{\lambda }_{n}}\left( y_{a}^{n}-x_{a}^{n} \right),\forall a$和$D_{rs}^{n+1}=D_{rs}^{n}+{{\lambda }_{n}}\left( v_{rs}^{n}-D_{rs}^{n} \right),\forall r,s$。

步骤 6 收敛性检验。

若$\sum\limits_{rs}{\frac{\left| {{F}_{rs}}\left( D_{rs}^{n} \right)-\gamma _{rs}^{n} \right|}{\gamma _{rs}^{n}}+\sum\limits_{rs}{\frac{\left| \gamma _{rs}^{n}-\gamma _{rs}^{n-1} \right|}{\gamma _{rs}^{n}}\le \varepsilon }}$,(ε是预先确定的小正数),停止计算;否则,令n=n+1,返回至第2步。

算法结束。

3 实例验证

以某城市简化后的交通网络为例,说明模型的可行性^[23-25]。如图 1所示,试验网络共有7个节点,9条路段。其中A、B、C、G是交通需求发生点,节点D、E、F是交叉口交通流转换节点,不产生和消耗(减少)交通流量。假设G为某大型活动场所,是疏散源点,A、B、C为疏散终点;任意两点间出行需求上限为900(veh),固定出行需求(疏散需求)为D_G-A=300(veh),D_G-B=400(veh),D_G-C=500(veh);令路段2、4长度为4 km,路段7、8长度为2.5 km,其余路段长度为3 km;自由流速度为60 km/h,均为双向两车道;路段9通行能力为1 000 pcu/h,其余为1 200 pcu/h;出行需求函数采用文献^[7]中的形式。

经运算,得到基于部分变需求的系统最优条件下,疏散路径的流量分配结果以及各路段交通流量分配结果。见表 1、2(单位:标准车)。

表 1可以得到沿某条路径疏散的流量大小,即为疏散方案。表 2得到了在疏散流量及区域内交通流量达到系统最优的情况下,各路段分配的交通量大小。其中,路段7、8、9交通负荷较大,尤其是路段9通行能力不足,需交警部门进行交通管制,限制社会车辆,保障疏散路径的畅通。

4 结语

本研究立足于突发事件发生后的区域交通网络路径疏散规划,充分考虑了非常态下交通需求变化的重要特征,提出了一个基于部分变需求的系统最优化的疏散路径模型。证明了该模型的解与部分变需求的系统最优化条件之间的等价性,探讨了模型解的存在性和唯一性,在凸组合算法思想的基础上设计了该模型的求解步骤,用一个简单的实验网络进行了验证。该应急疏散路径选择方案可以作为政府及交通管理部门制定应急交通组织方案的理论依据,也可作为长期规划。虽然模型和算法在理论上是有效的,但算法在复杂或大型交通网络中应用的效率还需进一步检验,将在今后的研究中进行改进和完善,以使模型的实用性更强。