0 引言

基于能量的控制方法已广泛应用于众多实际系统的控制和稳定分析中,这些系统包括机器人系统^[1]、水上交通系统^[2]、飞行器^[3]、机械系统^[4]和电力系统^[5]等。 广义 Hamilton 系统的 Hamilton 函数是系统的总能量,在一定条件下可构成系统的 Lyapunov 函数,因此,广义 Hamilton 系统已在众多控制问题中表现出明显的优越性。近年来,人们对广义 Hamilton 系统进行了广泛研究,并获得了一系列研究结果,文献^[6]研究了一类广义非线性 Hamilton 系统镇定与H_∞控制问题,并将其扩展应用到一般广义非线性系统中,文献^[7]基于端口受控 Hamilton (port-controlled Hamilton,PCH)系统模型,对永磁同步电动机进行了建模和位置跟踪控制,文献^[8]研究了非线性PCH系统的同步镇定问题并设计了同步镇定控制器。

随着系统结构的日益复杂化,仅用单个系统难以对实际系统进行描述,混杂系统逐渐受到重视。切换系统是一类重要的混杂系统,由若干个子系统组成,在一定的切换规则作用下,子系统交替执行控制器的功能和作用。 近年来,切换系统已成为人们的研究热点之一,并产生了许多相关的研究成果,文献 ^[9] 用共同 Lyapunov 函数法研究了一类非线性切换系统在任意切换路径下全局有限时间镇定问题,文献^[10]用多重 Lyapunov 函数法对子系统有多项式向量场的混杂切换系统进行了局部渐近稳定性分析,文献^[11]研究了参数变化线性切换系统的鲁棒稳定性与不变集问题。 然而,关于非线性切换 Hamilton 系统的研究结果相对较少,文献^[12]基于多重 Lyapunov 函数法,对切换耗散 Hamilton 系统稳定性进行了初步研究,文献^[13]在混杂切换 Hamilton 系统稳定性研究的基础上,进一步研究了混杂切换 Hamilton 系统 H_∞控制问题。

实际中,几乎所有系统都会由于本身物理条件限制而受到约束,饱和是非线性约束中的常见现象,其中,输入饱和是最重要的饱和现象之一。输入饱和往往导致系统性能下降,甚至使系统不稳定,造成非常严重的后果,因此,研究输入饱和系统稳定性和控制问题具有极其重要的理论价值和实际意义。近年来,关于输入饱和线性系统的研究取得了许多成果,文献^[14]研究了输入饱和连续时间线性切换系统的分析和控制问题,文献^[15]研究了一类输入饱和不确定正线性系统的镇定问题,文献^[16]设计了输入饱和线性系统的输出反馈控制器与静态抗饱和补偿器。相比较而言,关于输入饱和非线性系统控制设计问题的研究结果较少^[17-18],尤其,对于输入饱和非线性 Hamilton 系统的研究结果更少,文献^[19]研究了输入饱和非线性 PCH系统镇定与 H_∞控制问题。

虽然目前对于输入饱和非线性 Hamilton 系统和非线性切换 Hamilton 系统有一定的研究结果,但是关于输入饱和非线性切换 Hamilton 系统的研究,几乎没有这方面的文献报道。本研究首次对输入饱和非线性切换 Hamilton 系统进行研究,主要解决输入饱和非线性切换 Hamilton 系统镇定与 H_∞控制问题。研究内容包括两个方面:首先,用控制输入和补偿表示输入饱和,提出充分条件并设计合适的状态反馈,使闭环系统在任意切换路径下达到全局渐近稳定,解决了输入饱和非线性切换 Hamilton 系统在任意切换路径下镇定问题。然后,在基于能量的 L₂干扰抑制理论基础上,设计系统的 H_∞控制器,在该控制器作用下,达到系统 H_∞控制设计目标:系统存在外部干扰时,控制器抑制干扰,无外部干扰时,闭环系统全局渐近稳定,解决了输入饱和非线性切换 Hamilton 系统在任意切换路径下 H_∞ 控制问题。本文采用一种基于能量的控制设计方法首次研究了输入饱和非线性切换 Hamilton 系统镇定与 H_∞控制问题,为研究一般输入饱和非线性切换系统提供了一种新的方法和思路。

1 预备知识

主要介绍切换耗散 Hamilton 系统稳定性分析的相关知识,并给出一些命题。

关于切换耗散 Hamilton系统稳定性分析,考虑如下系统模型:

$\dot{x}=[{{J}_{\lambda (t)}}\left( x \right)-{{R}_{\lambda (t)}}\left( \text{ }x \right)]\nabla {{H}_{\lambda \left( t \right)}}(x),$

(1)

式中: x∈Rⁿ 是系统状态; J(x)=-J^T(x)∈R^n×n; 0≤R(x)∈R^n×n; H(x)是Hamilton 函数(系统的总能量),满足:对$\forall 0\ne x\in {{R}^{n}},H\left( x \right)>0$且$H\left( 0 \right)=0;\nabla H\left( x \right)=\frac{\partial H\left( x \right)}{\partial x}$; 映射$\lambda \left( t \right):\left[ {{t}_{0}},+\infty \right)\to \Lambda =\left\{ 1,2,\cdots ,N \right\}$ 是一分段右连续常值函数,称为切换率或切换路径,λ(t)=i (i=1,2,…,N) 表示第 i个子系统起作用。

为研究系统 (1) 的稳定性,给出如下假设。

假设 1^[12] 对$\forall i\in \Lambda $和$\forall x,y\in {{\text{R}}^{n}}$,Hamilton 函数H_i(x)满足:${{H}_{i}}\left( x \right)>{{H}_{i}}\left( y \right)\Leftrightarrow {{\left\| x \right\|}_{p}}>{{\left\| y \right\|}_{p}}$,其中${{\left\| x \right\|}_{p}}\triangleq \underset{\left\| x \right\|=1}{\mathop \sup }\,{{x}^{\text{T}}}Px,P>0$0为一正定矩阵。

关于切换耗散 Hamilton 系统稳定性,根据文献^[12]中的定理及证明推导过程,在假设 1 下,易得如下命题。

命题 1 在假设 1 下,若 ${{\dot{H}}_{i}}\left( x \right)\le 0,\forall i\in \Lambda $,则系统 (1) 在任意切换路径 λ(t)下都是稳定的。

命题 2 在假设 1 下,切换系统中若存在${{\dot{H}}_{l}}\left( x \right)<0,l\in \Lambda $,而其他 ${{\dot{H}}_{t}}\left( x \right)\le 0,\forall i\ne l\in \Lambda $,则系统 (1) 对于驻留时间(dwell time) τ>0 的任意切换路径λ(t)都是全局渐近稳定的。

2 输入饱和非线性切换 Hamilton 系统镇定

首先考虑输入饱和非线性切换 Hamilton系统

$\dot{x}=[{{J}_{\lambda (t)}}\left( x \right)-{{R}_{\lambda (t)}}\left( x \right)]\nabla {{H}_{\lambda (t)}}\left( x \right)+{{g}_{\lambda (t)}}\left( x \right)sat\left( u \right),$

(2)

式中: $g\left( x \right)\in {{\text{R}}^{n\times m}};\text{ sat}\left( u \right)={{[\text{sat}\left( {{u}_{1}} \right),\text{sat}\left( {{u}_{2}} \right),\ldots ,\text{sat}({{u}_{m}})]}^{\text{T}}}\in {{\text{R}}^{m}}$是控制输入;sat(·) 是饱和函数;其他同系统 (1)。

饱和函数 sat(·) 定义如下:

$\text{sat}\left( {{u}_{i}} \right)=\left\{ \begin{align} & {{\rho }_{i}},{{u}_{i}}>{{\rho }_{i}} \\ & {{u}_{i}},-{{\rho }_{i}}\le {{u}_{i}}\le {{\rho }_{i}},i=1,2,\cdots ,m \\ & -{{\rho }_{i}},{{u}_{i}}<-{{\rho }_{i}} \\ \end{align} \right.$。

(3)

为便于本研究的分析与设计,由文献^[18]易得如下引理。

引理 1 假设控制输入sat(u) 如式 (3) 定义,则存在实数ε∈(0,1),使如下不等式成立:

${{\eta }^{T}}\eta \le \varepsilon {{u}^{T}}u,$

式中:

$\eta =\text{sat}\left( u \right)-u,$

(4)

其中$\eta ={{\left[ {{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}},\ldots ,{{\eta }_{m}} \right]}^{\text{T}}}\in {{\text{R}}^{m}},$且 η_i 是死区非线性函数,i=1,2,…,m。

对于系统 (2) 镇定问题,控制设计如下。

定理 1 在假设 1 下,若存在实数${{\varepsilon }_{i}}\in \left( 0,1 \right),i\in \Lambda $,使切换系统 (2) 中存在矩阵${{R}_{l}}\left( x \right)+\frac{1}{2}\left( 1-{{\varepsilon }_{l}} \right){{g}_{l}}\left( x \right)g_{l}^{\text{T}}\left( x \right)>0,l\in \Lambda $,而其他 ${{R}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{2}\left( 1-{{\varepsilon }_{i}} \right){{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\ge 0,\forall i\ne l\in \Lambda $,则在 τ>0 的任意切换路径 λ(t) 下,状态反馈控制器

$u=u{{|}_{\lambda \left( t \right)=i}}=-g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right),i\in \Lambda ,$

(5)

可使系统 (2) 达到全局镇定。

证明 设 λ(t) 是任意切换路径,当 λ(t)=i 时,对第 i个子模型,将式 (5) 带入系统 (2),得到

$\dot{x}=[{{J}_{i}}\left( x \right)-{{R}_{i}}\left( x \right)]\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+{{g}_{i}}\left( x \right)\text{sat}(-g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}(x))$

由式 (4) 得:

$\begin{align} & {{{\dot{H}}}_{i}}\left( x \right)=\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\dot{x}=-\nabla H_{i}^{\text{T}}~\left( x \right){{R}_{i}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)- \\ & \nabla H_{i}^{\text{T}}~\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)\eta \\ \end{align}$

由引理 1 知,存在实数ε_i∈(0,1),i∈Λ,使如下不等式成立:

$\begin{align} & {{{\dot{H}}}_{i}}\left( x \right)\le -\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\left[ {{R}_{i}}\left( x \right)+{{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right) \right]\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+ \\ & \frac{1}{2}\left[ \nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+{{\eta }^{\text{T}}}\eta \right]\le \\ & -\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\left[ {{R}_{i}}\left( x \right)+{{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right) \right]\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+ \\ & \frac{1}{2}\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+ \\ & \frac{1}{2}{{\varepsilon }_{i}}\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)= \\ & -\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\left[ {{R}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{2}\left( 1-{{\varepsilon }_{i}} \right){{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right) \right]\nabla {{H}_{i}}\left( x \right) \\ \end{align}$。

由文献^[12]中的定理及其证明过程易知,命题 2 也适用于系统 (2)。在假设 1 下,若定理 1 的条件满足,根据命题 2,式 (5) 所示的状态反馈可使系统 (2) 在 τ>0 的任意切换路径 λ(t)下全局渐近稳定,结论成立。

3 输入饱和非线性切换Hamilton系统H_∞控制

主要研究带外部干扰的输入饱和非线性切换Hamilton系统H_∞控制问题,基于能量的 L₂ 干扰抑制理论^[20],设计系统的 H_∞控制器。

考虑如下系统模型:

$\left\{ \begin{align} & \dot{x}=[{{J}_{\lambda (t)}}\left( x \right)-{{R}_{\lambda (t)}}\left( x \right)]\nabla {{H}_{\lambda (t)}}\left( x \right)+{{g}_{\lambda (t)}}\left( x \right)\text{sat}\left( u \right)+{{{\bar{g}}}_{\lambda (t)}}\left( x \right)\omega , \\ & z={{r}_{\lambda (t)}}\left( x \right)g_{\lambda (t)}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{\lambda (t)}}(x), \\ \end{align} \right.$

(6)

式中:g(x)∈R^n×s; ω∈R^s是外部干扰; z∈R^q是罚信号; r(x) 是权矩阵;其他同系统 (2)。

本研究考虑的带外部干扰的输入饱和非线性切换 Hamilton 系统 H_∞控制问题的设计目标是:考虑系统 (6),给定一干扰抑制水平 γ>0 和任意切换路径 λ(t),设计一个反馈控制率 u=u|_λ(t),使如下条件成立:

R1: 系统存在外部干扰(ω≠0)时,对每1个 i∈Λ,γ-耗散不等式${{\dot{H}}_{i}}\left( x \right)+{{Q}_{i}}\left( x \right)\le \frac{1}{2}\left( {{\gamma }^{2}}{{\left\| \omega \right\|}^{2}}-{{\left\| z \right\|}^{2}} \right),\forall \omega $,沿由控制率u|_λ(t) 和系统 (6) 所构成的闭环系统的所有轨线都成立,其中,Qi(x)≥0为一标量函数;

R2: 无外部干扰(ω=0)时,闭环系统渐近稳定。

对于上述控制设计,有如下结果。

定理 2 在假设 1 下,对系统 (6),给定一干扰抑制水平 γ>0,若存在实数ε_i∈(0,1),i∈Λ,使系统满足如下条件

(1) ${{T}_{i}}\left( x \right)\ge 0,\forall i\in \Lambda $,其中,${{T}_{i}}\left( x \right):{{R}_{i}}\left( x \right)-\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{\bar{g}}_{i}}\left( x \right)\bar{g}_{i}^{\text{T}}\left( x \right)+$$\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)-\frac{1}{2}{{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)-$$\frac{1}{8}{{\varepsilon }_{i}}{{g}_{i}}\left( x \right){{\left( r_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{r}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{{{\gamma }^{2}}}{{I}_{m}} \right)}^{2}}g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)$;

(2) 存在矩阵S_l(x)>0,l∈Λ,而其他S_i(x)≥0,∀i≠l∈Λ,其中,${{S}_{i}}\left( x \right):={{R}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{2}{{g}_{i}}\left( x \right){{\left( r_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{r}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{{{\gamma }^{2}}}{{I}_{m}} \right)}^{2}}g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)-$$\frac{1}{2}{{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)-\frac{1}{8}{{\varepsilon }_{i}}{{g}_{i}}\left( x \right){{\left( r_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{r}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{{{\gamma }^{2}}}{{I}_{m}} \right)}^{2}}g_{i}^{\text{T}}\left( x \right),$则在任意切换路径 λ(t)下,系统 (6) 的 H_∞控制器

$u=u\left| _{\lambda \left( t \right)=i}=-\left[ \frac{1}{2}r_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{r}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{I}_{m}} \right]g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right) \right.,i\in \Lambda ,$

(7)

其中:I_m是 m×m 阶单位阵,并且取Q_i(x)=∀H_i^T(x)T_i(x)∀H_i(x)≥0,∀i∈Λ。

证明 设λ(t)=i∈Λ 为任意切换路径,系统存在外部干扰(ω≠0)时,由系统 (6) 得

$\begin{align} & {{{\dot{H}}}_{i}}\left( x \right)=-\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\dot{x}=\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\left[ {{J}_{i}}\left( x \right)-{{R}_{i}}\left( x \right) \right]\nabla {{H}_{i}}\left( x \right) \\ & +\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)\text{sat}\left( u \right)+\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)\omega \\ \end{align}$。

(8)

将式 (7) 代入式 (8),并由式 (4) 得

$\begin{align} & {{{\dot{H}}}_{i}}\left( x \right)=-\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{R}_{i}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{{\bar{g}}}_{i}}\left( x \right)\omega +\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)\eta - \\ & \nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)\left( \frac{1}{2}r_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{r}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{I}_{m}} \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)= \\ & -\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{R}_{i}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)-\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+{{\omega }^{\text{T}}}\bar{g}_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)- \\ & \frac{1}{2}\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)r_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{r}_{1}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)\eta = \\ & -\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\left[ {{R}_{i}}\left( x \right)-\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{{\bar{g}}}_{i}}\left( x \right)\bar{g}_{i}^{\text{T}}\left( x \right)+\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right) \right]\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)- \\ & \frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{{\bar{g}}}_{i}}\left( x \right)\bar{g}_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{2}\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{{\bar{g}}}_{i}}\left( x \right)\omega +\frac{1}{2}{{\omega }^{\text{T}}}\bar{g}_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)- \\ & \frac{1}{2}{{\left\| \gamma \omega \right\|}^{2}}+\frac{1}{2}\left( {{\gamma }^{2}}{{\left\| \omega \right\|}^{2}}-{{\left\| z \right\|}^{2}} \right)+\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)\eta = \\ & -\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\left[ {{R}_{i}}\left( x \right)-\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{{\bar{g}}}_{i}}\left( x \right)\bar{g}_{i}^{\text{T}}\left( x \right)+\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right) \right]\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)- \\ & \frac{1}{2}{{\left\| \gamma \omega -\frac{1}{\gamma }\bar{g}_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right) \right\|}^{2}}+\frac{1}{2}\left( {{\gamma }^{2}}{{\left\| \omega \right\|}^{2}}-{{\left\| z \right\|}^{2}} \right)+\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)\eta \le \\ & -\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\left[ {{R}_{i}}\left( x \right)-\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{{\bar{g}}}_{i}}\left( x \right)\bar{g}_{i}^{\text{T}}\left( x \right)+\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right) \right]\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+ \\ & \frac{1}{2}\left( {{\gamma }^{2}}{{\left\| \omega \right\|}^{2}}-{{\left\| z \right\|}^{2}} \right)+\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)\eta \\ \end{align}$。

根据引理 1,可得

$\begin{align} & {{{\dot{H}}}_{i}}\left( x \right)\le -\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\left[ {{R}_{i}}\left( x \right)-\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)+\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right) \right]\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+ \\ & \frac{1}{2}\left( {{\gamma }^{2}}{{\left\| \omega \right\|}^{2}}-{{\left\| z \right\|}^{2}} \right)+\frac{1}{2}\left( \nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+{{\eta }^{\text{T}}}\eta \right)\le \\ & -\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\left[ {{R}_{i}}\left( x \right)-\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)+\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right) \right]\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+ \\ & \frac{1}{2}\left( {{\gamma }^{2}}{{\left\| \omega \right\|}^{2}}-{{\left\| z \right\|}^{2}} \right)+\frac{1}{2}\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+ \\ & \frac{1}{2}{{\varepsilon }_{i}}\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right){{\left( \frac{1}{2}r_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{r}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{I}_{m}} \right)}^{2}}g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)= \\ & -\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\left[ {{R}_{i}}\left( x \right)-\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)+\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)-\frac{1}{2}{{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)- \right. \\ & \left. \frac{1}{8}{{\varepsilon }_{i}}{{g}_{i}}\left( x \right){{\left( r_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{r}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{{{\gamma }^{2}}}{{I}_{m}} \right)}^{2}}g_{i}^{\text{T}}\left( x \right) \right]\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{2}\left( {{\gamma }^{2}}{{\left\| \omega \right\|}^{2}}-{{\left\| z \right\|}^{2}} \right)= \\ & -\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{T}_{i}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{2}\left( {{\gamma }^{2}}{{\left\| \omega \right\|}^{2}}-{{\left\| z \right\|}^{2}} \right) \\ \end{align}$。

所以

${{\dot{H}}_{i}}\left( x \right)+\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{T}_{i}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)\le \frac{1}{2}\left( {{\gamma }^{2}}{{\left\| \omega \right\|}^{2}}-{{\left\| z \right\|}^{2}} \right)$。

故对∀i∈Λ,γ-耗散不等式${{\dot{H}}_{i}}\left( x \right)+{{Q}_{i}}\left( x \right)\le \frac{1}{2}\left( {{\gamma }^{2}}{{\left\| \omega \right\|}^{2}}-{{\left\| z \right\|}^{2}} \right),\forall \omega $成立,其中,${{Q}_{i}}\left( x \right)=\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{T}_{i}}\left( x \right)\forall {{H}_{i}}\left( x \right)\ge 0,{{H}_{\infty }}$控制设计目标 R1 满足。

无外部干扰(ω=0)时,闭环系统可表示为

$\dot{x}=\left[ {{J}_{i}}\left( x \right)-{{R}_{i}}\left( x \right) \right]\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+{{g}_{1}}\left( x \right)\text{sat}\left( u \right)$。

(9)

由式 (9) 得

${{\dot{H}}_{i}}\left( x \right)=\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\dot{x}=\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\left[ {{J}_{i}}\left( x \right)-{{R}_{i}}\left( x \right) \right]\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)\text{sat}\left( u \right)$。

(10)

将式 (7) 代入式(10),并由式 (4) 得

$\begin{align} & {{{\dot{H}}}_{i}}\left( x \right)=-\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{R}_{i}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)\eta - \\ & \nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)\left( \frac{1}{2}r_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{r}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{I}_{m}} \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right) \\ \end{align}$。

由引理 1可得

$\begin{align} & {{{\dot{H}}}_{i}}\left( x \right)\le -\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\left[ {{R}_{i}}\left( x \right)+{{g}_{i}}\left( x \right)\left( \frac{1}{2}r_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{r}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{I}_{m}} \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right) \right]\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+ \\ & \frac{1}{2}\left( \nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+{{\eta }^{\text{T}}}\eta \right)\le \\ & -\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\left[ {{R}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{2}{{g}_{i}}\left( x \right)\left( r_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{r}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{{{\gamma }^{2}}}{{I}_{m}} \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)-\frac{1}{2}{{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right) \right]\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+ \\ & \frac{1}{2}{{\varepsilon }_{i}}\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{g}_{i}}\left( x \right){{\left( \frac{1}{2}r_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{r}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{I}_{m}} \right)}^{2}}g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)= \\ & -\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\left[ {{R}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{2}{{g}_{i}}\left( x \right)\left( r_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{r}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{{{\gamma }^{2}}}{{I}_{m}} \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)- \right. \\ & \left. \frac{1}{2}{{g}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)-\frac{1}{8}{{\varepsilon }_{i}}{{g}_{i}}\left( x \right){{\left( r_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{r}_{i}}\left( x \right)+\frac{1}{{{\gamma }^{2}}}{{I}_{m}} \right)}^{2}}g_{i}^{\text{T}}\left( x \right) \right]\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)= \\ & -\nabla H_{i}^{\text{T}}\left( x \right){{S}_{i}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right) \\ \end{align}$

由文献^[12]中的定理及其证明推导过程易知,当 ω=0 时,命题 2 也适用于系统 (6)。 在假设 1 下,若定理 2 中的条件 (2) 满足,由命题 2 可知,ω=0 时系统 (6) 在任意切换路径 λ(t) 下都是全局渐近稳定的,故 H_∞控制设计目标 R2 满足。

4 仿真算例

给出一个仿真例子,以验证本研究对于输入饱和非线性切换 Hamilton 系统 H_∞控制设计方法的有效性。

例 1 考虑如下输入饱和非线性切换 Hamilton 系统

$\left\{ \begin{align} & \dot{x}=\left[ {{J}_{i}}\left( x \right)-{{R}_{i}}\left( x \right) \right]\nabla {{H}_{i}}\left( x \right)+{{g}_{i}}\left( x \right)\text{sat}\left( u \right)+{{{\bar{g}}}_{i}}\left( x \right)\omega , \\ & z={{r}_{i}}\left( x \right)g_{i}^{\text{T}}\left( x \right)\nabla {{H}_{i}}\left( x \right),i=1,2, \\ \end{align} \right.$

(11)

式中: $x={{\left[ {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right]}^{\text{T}}}\in {{\text{R}}^{2}},\text{sat}\left( u \right)\in \text{R}$是控制输入,ω 是外部干扰,r_i(x)=r_i (i=1,2)是权矩阵,${{J}_{1}}\left( x \right)=\left( \begin{matrix} 0 & 4-x_{1}^{2}-{{x}_{2}} \\ x_{1}^{2}-4+{{x}_{2}} & 0 \\ \end{matrix} \right),$$\eqalign{ & {R_1}\left( x \right) = \left( {\matrix{ 0 & 0 \cr 0 & 4 \cr } } \right),{H_1}\left( x \right) = x_1^2 + {1 \over 2}x_2^2, \cr & {g_1}\left( x \right) = \left( \matrix{ 1 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right),{g_i}\left( x \right) = \left( \matrix{ 0 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right),{J_2}\left( x \right) = \left( {\matrix{ 0 & {1 - {x_2}} \cr {{x_2} - 1} & 0 \cr } } \right), \cr} $${R_2}\left( x \right) = \left( {\matrix{ 2 & 0 \cr 0 & 0 \cr } } \right),{H_2}\left( x \right) = {1 \over 4}x_1^4 + x_2^4,{g_2}\left( x \right) = \left( \matrix{ 0 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right),{g_2}\left( x \right) = \left( \matrix{ 1 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right)$。

取参数 ${{r}_{1}}=\frac{1}{2},{{r}_{2}}=\frac{1}{3}$,容易验证系统 (11) 满足假设 1,给定一干扰抑制水平 0.5≤γ≤0.87,存在 ε₁=ε₂=$\frac{1}{3}$,使如下不等式成立:

$\begin{align} & {{T}_{1}}\left( x \right)={{R}_{1}}\left( x \right)-\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{{\bar{g}}}_{1}}\left( x \right)\bar{g}_{1}^{\text{T}}\left( x \right)+\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{g}_{1}}\left( x \right)g_{1}^{\text{T}}\left( x \right)-\frac{1}{2}{{g}_{1}}\left( x \right)g_{1}^{\text{T}}\left( x \right)- \\ & \frac{1}{8}{{\varepsilon }_{1}}{{g}_{1}}\left( x \right){{\left( r_{1}^{\text{T}}\left( x \right){{r}_{1}}\left( x \right)+\frac{1}{{{\gamma }^{2}}}{{I}_{m}} \right)}^{2}}g_{1}^{\text{T}}\left( x \right)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}-\frac{1}{16}{{\left( \frac{1}{{{\gamma }^{2}}}+\frac{1}{4} \right)}^{2}}-\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 4-\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}} \\ \end{matrix} \right)\ge 0, \\ & {{T}_{2}}\left( x \right)={{R}_{2}}\left( x \right)-\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{{\bar{g}}}_{2}}\left( x \right)\bar{g}_{2}^{\text{T}}\left( x \right)+\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}{{g}_{2}}\left( x \right)g_{2}^{\text{T}}\left( x \right)-\frac{1}{2}{{g}_{2}}\left( x \right)g_{2}^{\text{T}}\left( x \right)- \\ & \frac{1}{8}{{\varepsilon }_{2}}{{g}_{2}}\left( x \right){{\left( r_{2}^{\text{T}}\left( x \right){{r}_{2}}\left( x \right)+\frac{1}{{{\gamma }^{2}}}{{I}_{m}} \right)}^{2}}g_{2}^{\text{T}}\left( x \right)=\left( \begin{matrix} 2-\frac{1}{2{{\gamma }^{2}}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}-\frac{1}{16}{{\left( \frac{1}{{{\gamma }^{2}}}+\frac{1}{9} \right)}^{2}}-\frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right) \\ & {{S}_{1}}\left( x \right)={{R}_{1}}\left( x \right)+\frac{1}{2}{{g}_{1}}\left( x \right)\left( r_{1}^{\text{T}}\left( x \right){{r}_{1}}\left( x \right)+\frac{1}{{{\gamma }^{2}}}{{I}_{m}} \right)g_{1}^{\text{T}}\left( x \right)-\frac{1}{2}{{g}_{1}}\left( x \right)g_{1}^{\text{T}}\left( x \right)- \\ & \frac{1}{8}{{\varepsilon }_{1}}{{g}_{1}}\left( x \right){{\left( r_{1}^{\text{T}}\left( x \right){{r}_{1}}\left( x \right)+\frac{1}{{{\gamma }^{2}}}{{I}_{m}} \right)}^{2}}g_{1}^{\text{T}}\left( x \right)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}-\frac{1}{16}{{\left( \frac{1}{{{\gamma }^{2}}}+\frac{1}{4} \right)}^{2}}-\frac{3}{8} & 0 \\ 0 & 4 \\ \end{matrix} \right)>0, \\ & {{S}_{2}}\left( x \right)={{R}_{2}}\left( x \right)+\frac{1}{2}{{g}_{2}}\left( x \right)\left( r_{2}^{\text{T}}\left( x \right){{r}_{2}}\left( x \right)+\frac{1}{{{\gamma }^{2}}}{{I}_{m}} \right)g_{2}^{\text{T}}\left( x \right)-\frac{1}{2}{{g}_{2}}\left( x \right)g_{2}^{\text{T}}\left( x \right)- \\ & \frac{1}{8}{{\varepsilon }_{2}}{{g}_{2}}\left( x \right){{\left( r_{2}^{\text{T}}\left( x \right){{r}_{2}}\left( x \right)+\frac{1}{{{\gamma }^{2}}}{{I}_{m}} \right)}^{2}}g_{2}^{\text{T}}\left( x \right)=\left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}-\frac{1}{16}{{\left( \frac{1}{{{\gamma }^{2}}}+\frac{1}{9} \right)}^{2}}-\frac{4}{9} \\ \end{matrix} \right)>0 \\ \end{align}$

故定理 2 的条件 (1) 与条件 (2) 满足,由定理 2 知,在任意切换路径 λ(t) 下,系统 (11) 的 H_∞控制器可设计为

$\left\{ \begin{align} & u\left| _{\lambda \left( t \right)=1}=-2{{x}_{1}}\left( \frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}+\frac{1}{8} \right), \right. \\ & u\left| _{\lambda \left( t \right)=1}=-4x_{2}^{3} \right.\left( \frac{1}{2{{\gamma }^{2}}}+\frac{1}{18} \right) \\ \end{align} \right.$。

(12)

为验证控制器 (12) 的有效性,进行仿真,取初始条件 _x0=[-2, 2]^T,干扰抑制水平 γ=0.7,选取如下输入饱和函数

$\text{sat}\left( u \right)=\left\{ \begin{align} & 0.6,u>0.6, \\ & u,-0.6\le u\le 0.6, \\ & -0.6,u<-0.6 \\ \end{align} \right.$。

切换路径 λ(t) 选取如下

$\lambda \left( t \right)=\left\{ \begin{align} & 2,t\in \left[ {{t}_{2k}},{{t}_{2k+1}} \right),{{t}_{2k+1}}+{{t}_{2k}}=0.15\text{s}, \\ & 1,t\in \left[ {{t}_{2k+1}},{{t}_{2k+2}} \right),{{t}_{2k+2}}-{{t}_{2k+1}}=0.15\text{s,}k=0,1,2,\cdots \\ \end{align} \right.$。

系统无外部干扰(ω=0)时,仿真结果见图 1、2,分别表示系统 (11) 无外部干扰时系统状态和控制器的动态响应曲线。 从图 1、2 可以看出,在切换路径 λ(t) 下,系统 (11) 的状态和控制器很快收敛到平衡点 x=0。仿真结果表明:系统无外部干扰时,控制器 (11) 可以有效地镇定系统,使系统在切换路径 λ(t) 下达到全局渐近稳定。

为验证控制器 (12) 对系统外部干扰具有的鲁棒性,将外部干扰 ω=10 作用在时间段 ［3 s～7.5 s] 上,添加到该系统中。仿真结果见图 3、4,分别表示系统 (11) 存在外部干扰时系统状态和控制器的动态响应曲线。 从图 3、4 可以看出,控制器抑制外部干扰对系统的影响,撤消外部干扰后,系统 (11) 的状态和控制器仍然可以很快收敛到平衡点 x=0。 仿真结果表明:系统存在外部干扰时,控制器 (12) 具有很强的抗外部干扰的鲁棒性。

5 结论

本研究对输入饱和非线性切换 Hamilton 系统镇定与 H_∞控制问题进行了研究,主要研究内容包括两个方面:第一,研究了输入饱和非线性切换 Hamilton 系统镇定问题,提出充分条件并设计了合适的状态反馈,使闭环系统达到全局渐近稳定。第二,当系统存在外部干扰时,设计系统的 H_∞控制器以抑制干扰,解决了输入饱和非线性切换 Hamilton 系统 H_∞控制问题,并且仿真例子验证了本文研究方法和结果的有效性。本研究采用基于能量的控制设计方法研究了输入饱和非线性切换 Hamilton 系统,为一般输入饱和非线性切换系统的研究提供了一种新的方法和思路。