0 引言

行波型旋转超声电动机具有低速大转矩、体积小、质量轻、不受电磁影响、运行无噪音、反应速度快等优点,在航空航天、机器人等方面具有广阔的应用前景^[1-5]。该电动机是将压电陶瓷在定子底部经过合理的配置,在压电陶瓷上施加同频率、等幅值、相位差为90°的正弦电压。利用压电陶瓷的逆压电效应和通过定子的共振放大及定转子间的摩擦耦合作用,驱动转子做旋转运动并带动负载^[6-7]。从电动机的工作原理可以看出,电动机运行是在两个能量的转换过程中实现的:机电耦合转换和摩擦耦合转换^[8]。其中第二个能量转换过程是电动机系统中非常重要的能量转换过程,它对电动机最后性能的输出有着重要的影响。文献^[9]指出行波型旋转超声电动机定转子间的接触模型是三维的,既有横向位移和纵向位移也有径向位移。文献^[10]分析表明,定转子间的径向滑动摩擦损耗占整个界面总损耗的60％。进而会造成电动机温度升高等问题^[11-13]。因此,若能减小定转子间的径向滑移是提高电动机输出效率的一种方法。针对减小径向滑移的问题,文献^[14]提出柔性转子的思想,设计杆状弯曲行波超声电动机的柔性转子,减小定转子间径向滑移。文献^[15]通过分析指出转子中适当的阻尼存在可减小定转子间的径向滑移,提高电动机的输出效率。本研究基于行波型旋转超声电动机摩擦界面的黏滑特性机理^[16],从理论分析定子与摩擦层间的摩擦因子及摩擦材料的泊松比对定转子间径向滑移的影响。

1 定转子间径向摩擦接触模型

行波型旋转超声电动机定子齿表面质点的运动是空间三维的,其径向位移在柱坐标中表示为^[17]

$u={{W}_{0}}{{F}_{u}}\left( r,z \right)\text{cos}(2\pi ft-n\theta ),$

(1)

其中:W₀为定子在n阶模态下的振动的幅值,m; F_u(r,z)是与径向位置坐标有关的函数; f为定子外加激励电压的频率, Hz; n为定子工作模态阶数。由式(1)可以看出电动机工作时,定子表面轮廓径向方向呈正弦波的形状。由式(1)可计算得到定子齿端质点的径向速度^[17]

${{v}_{sr}}=\frac{\partial u}{\partial t}=-2\pi f{{W}_{0}}{{F}_{u}}\left( r,z \right)\text{sin}(2\pi ft-n\theta ),$

(2)

其中,负号表示定子质点径向的速度与正弦波的方向相反,由式(1)可知定子质点径向的速度是不断变化的。行波型旋转超声电动机运行时,在一定预压力的作用下假设定转子之间只有摩擦层发生弹性变形,则摩擦层的径向变形的形状与定子径向表面轮廓一致。定转子间的径向接触界面见图 1。图中B为摩擦层径向宽度,m;H为摩擦层高度,m;h_f为定子中性层到摩擦层未变形表面的距离,m;W₀为定子径向正弦波的振幅,m。

转子在受到一定的预压力F作用下,定转子间的摩擦层会发生弹性变形,其变形量

$\Delta z=\frac{FH}{EB\Delta l},$

(3)

其中:E为摩擦材料的弹性模量,Pa; Δl为摩擦层周向的一段长度,m。则单位长度的摩擦材料的垂向的等效弹簧刚度

$k=\frac{F}{\Delta z}=\frac{EB}{H}$。

(4)

2 定转子间径向黏滑分析

行波型旋转超波声电动机定子与摩擦层之间,在径向既有几何滑动又有弹性滑动。定子与摩擦层之间的摩擦损失一般都为几何滑动摩擦损失。定子与摩擦层间径向几何滑动磨擦损失^[10]

${{P}_{r}}\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{\left( \sum\limits_{e=1}^{N}{\iint\limits_{{{S}_{\text{e}}}}{{{f}_{r}}\left| {{v}_{\text{sr}}}-{{v}_{\text{rr}}} \right|\text{d}s}} \right)}\text{d}t,$

(5)

其中:T为施加子定子上激励电压的周期,s; N为定子上的齿的数量;S_e为单个定子齿与摩擦层的接触面积,m²; v_sr、v_rr分别为定子齿和摩擦层上质点的径向速度,m/s。由式(5)可见,造成定转子径向滑动损失的主要原因是定转子接触界面的存在速度差,若能减小定转子接触界面径向的速度差就能减小径向滑移造成的能量损失。定子与摩擦层的径向弹性滑动是由于接触面存在弹性变形而产生的滑动。定子与摩擦层间的径向弹性滑动见图 2,其中点B的为摩擦层上表面点与转子接触,点A为摩擦层下表面点与定子相接触。由于定转子在径向速度不相同,则A、B两点会产生速度差,摩擦层会发生剪切变形,剪切变形的大小用剪切变形角β(t)来表示:

$\beta \left( t \right)=\int_{{{T}_{0}}}^{t}{\frac{{{v}_{sr}}\left( \tau \right)-{{v}_{rr}}\left( \tau \right)}{H}}\text{d}\tau ,$

(6)

β(t)随时间的变化而变化,若A点与定子保持粘着状态,则摩擦层会产生一个变形角。在β(t)＜β(c)之前,定子与摩擦层A点不会发生相对滑动,仅仅是摩擦层发生了弹性变形,不会产生几何滑动能量损失,此时的接触状态见图 2(b)。当在某一时刻t_p时β(t)>β(c),摩擦层的A点将不会与定子保持粘着状态,此时定子与摩擦层之间会产生几何滑动造成摩擦损耗,此时的接触状态见图 2(c)。

3 减小定子与摩擦层间径向滑移方法讨论

由以上分析得出,若能增大摩擦层的最大变形角β(c)则能增大定子与摩擦层的弹性变形区,从而会减小定子与摩擦层的几何滑动区,达到减小定子与摩擦层间径向滑移的目的。摩擦层的径向的最大剪切变形角是由定子与摩擦层间的径向最大摩擦力F_rmax(滑动摩擦力)决定的^[16]。由弹性体剪切变形的胡克定律可得β(c)与F_rmax的数学关系式:

$\beta \left( c \right)=\frac{{{\tau }_{\max }}}{G}=\frac{{{F}_{r\max }}/B\Delta l}{G},$

(7)

又因为根据库伦摩擦定律

${{F}_{r\max }}={{\mu }_{d}}{{F}_{n}},$

(8)

式中:F_n为定子磨与摩擦层间的正压力,N; μ_d为定子与摩擦层间的动摩擦因子。把式(8)代入式(7)得:

$\beta \left( c \right)=\frac{{{\mu }_{d}}{{F}_{n}}/B\Delta l}{G},$

(9)

把式(3)、(4)代入式(9)可得:

$\beta \left( c \right)=\frac{{{\mu }_{d}}E\Delta z}{GH},$

(10)

又因为弹性模量E,剪切模量G和泊松比υ的关系为

$G=\frac{E}{2\left( 1+v \right)},$

(11)

把式(11)代入(10)中可得:

$\beta \left( c \right)=\frac{2{{\mu }_{d}}\Delta z\left( 1+v \right)}{H},$

(12)

由式(12)可以看出,在电动机摩擦层厚度及定子与摩擦层间的法向接触力一定的情况下,增大定子与摩擦层间的摩擦因子及增大摩擦材料的泊松比都会增大摩擦层的最大剪切变形角。进而有望能减小电动机定子与摩擦层之间的径向滑移。

4 有限元仿真与分析

由于行波型旋转超声电动机定转子结构复杂,目前还不能建立单纯的数学解析模型。然而有限元法可以很好的求解有复杂形状和各种边界条件的问题,且有较高的求解精度^[18]。本研究对象为定子直径为60 mm的行波型旋转超声电动机,在有限元软件ANSYS10.0中,建立该电动机定转子的三维有限元分析模型见图 3,定子转子及摩擦层选用的都是SOLID95单元,该单元有较高的求解精度且适应复杂的形状。由于通过在定子中性层上施加行波函数的方式^[19]来进行仿真分析,因此略去定子的压电部分。定子中性层确定的方法是对定子进行模态分析,再提取厚度方向的位能最小处,在定子中性层中施加的行波函数:

$w={{W}_{0}}\sin (n\theta -2\pi ft)\text{ ,}$

(13)

式中:w为定子中性层质点的法向位移,m;W₀为行波n阶振动模态的振动的幅值,m;n为行波型旋转超声电动机定子圆周的波数。

在定子转子材料特性保持不变且在转子上施加的预压力保持不变的情况下,通过修改定子与摩擦层间的摩擦因子,及修改摩擦层的泊松比来仿真分析这两个因数对定子与摩擦层间径向滑移的影响,分析时定义摩擦因子在0.05～0.55的范围变化,每次分析时以0.05的幅度递增,定义泊松比在0.26～0.44的范围变化,每次分析以0.02的幅度递增。定转子有限元仿真参数见表 1。

对该模型进行稳态非线性求解,设置求解时间为定子振动的1个周期即25 μs,并且设置50个子步,保证每个子步的变化量足够的小,从而保证求解精度^[20]。图 4为定子与摩擦层某一质点径向位移随时间的变化关系图。由图 4可以看出定子齿端质点径向的运动轨迹为正弦波,且与定子相接触摩擦层质点的运动轨迹也近似正弦波,且两者之间存在位移差即有径向滑移。当定子与摩擦层间的摩擦因子及摩擦层材料的泊松比处于不同值时,以在时刻t=1.25 μs是定子与摩擦层间的径向滑移量的大小(ΔY),作为这两个因数对定子与摩擦层间径向滑移的影响程度。

图 5为时刻t=1.25 μs时,定子与摩擦层的径向滑移量随摩擦因子的变化情况,由图 5可以看出定子与摩擦层间的径向滑移量随摩擦因子的增大而逐渐减小,与理论分析的结论相符合。图 6是定子与摩擦层的径向滑移量随摩擦材料的泊松比的变化情况,由图 6可以看出定子与摩擦层间的径向滑移量随摩擦层材料的泊松比的增大而逐渐减小,与理论分析相符合。图 5与图 6比较得出,泊松比的改变对减小定子磨摩擦层的径向滑移的贡献程度要大于定子与摩擦层间的摩擦因子的改变量对减小径向滑移的贡献程度。

5 结论

本研究基于行波型旋转超声电动机摩擦界面的黏滑特性,分析电机定子与摩擦层径向的黏滑特性。通过增大摩擦层的最大剪切变形角,来达到减小定子与摩擦层径向滑移的目的。理论分析推导得到摩擦层最大剪切变形角与定子和摩擦层间的摩擦因子及摩擦材料的泊松比之间的关系表达式。由表达式可知,增大摩擦因子及摩擦材料的泊松比,都会增大摩擦层的最大剪切变形角,从而达到减小定子与摩擦层间径向滑移的目的。仿真分析验证了理论分析结果的正确性,并且摩擦材料泊松比的改变对减小径向滑移的贡献量要大于定子与摩擦层间摩擦因子的改变对减小径向滑移的贡献量。理论分析及仿真结果可对超声电动机摩擦材料的研制提供依据。