UTA方法^[1]是一种重要的多准则决策方法,其基本思想是根据以往的经验信息对方案进行排序,在多属性效用理论公理化和偏好分解原理的基础上,利用线性规划估计出一组效用函数值,使之与决策人提供的偏好信息尽可能一致。从UTA方法提出后引起了广泛的关注,许多学者提出了多种不同的UTA变体^[2]。近年来,研究者们对UTA方法进行了进一步的扩展,提出了Analytic Center (ACUTA)方法^[3]、Rank-related UTA (RUTA)方法^[4]、Utility Additive with General Marginal value functions Set (UTA^GMS)方法^[5]、Generalized Regression with Intensities of Preference (GRIP)方法^[6]、群UTA^GMS(UTA^GMS-GROUP)方法^{[7, 8]}、关联UTA^GMS (UTA^GMS-INT)方法^[9]等。另外,文献^[10]对UTA^GMS方法和GRIP方法进行扩展,给出了选择典型效用函数的一般框架,即在所有与决策人偏好相容的效用函数中,选择某种特性的效用函数。文献^[11]讨论了小群体决策情形下使用投票累积函数估计方案排序的方法,并提出了UTA方法的修改框架。在应用方面,UTA方法主要处理多准则决策中方案的排序、择优问题。文献^[12]用UTA方法处理实时材料选择问题,使之与过去研究者采用其它多准则决策方法得到的结果一致;文献^[13]将UTA方法用于废水管理系统 中,得到与决策人偏好一致的排序;文献^[14]将UTA^GMS方法用于内河港口竞争力的排序中,给出了每个港口的最好和最差排序以及全部港口的参考全序。

上述方法都是针对评估值精确已知的情形提出的,而现实生活中大多数决策问题都存在一定程度的不确定性,很难给出精确的评估值。对于不确定性多准则问题的加性效用函数的研究尚不多见。文献^[15]针对准则权系数信息不完全确定和准则值模糊的多准则决策问题,建立了一个模糊线性规划模型,提出了一种模糊多准则UTA方法;文献^[16]对于模糊环境下供应商的选择和效用函数的估计,运用UTA^*或UTASTAR方法提出了一个多准则决策过程;文献^[17]应用模糊UTASTAR方法^[18]评估发展中国家地表水质量管理的可持续性。本研究对传统的UTA方法进行了扩展,提出了区间UTA方法,使之能处理指标值均为区间数的多准则决策问题。该方法可分为两个阶段,第一阶段利用区间数的中点、半宽,以及决策人的满意度水平,构造了一个线性规划模型和二次规划模型,得到各节点的效用值,这些效用值与决策人提供的偏好信息尽可能一致;第二阶段再根据第一阶段得到的效用值和区间数的运算,得到待评方案的排序。

定义 1 ^[19] 闭区间x=[x,${\bar{x}}$]称为区间数,其中x,${\bar{x}}$为精确实数,分别称为区间数x的左、右端点;当x=${\bar{x}}$时,区间数x退化成为精确数值。

另外,区间数x=[x,${\bar{x}}$]也可表示为〈m(x),w(x)〉,其中m(x)=$\frac{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x} + \bar x}}{2}$为x的中点,w(x)=$\frac{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x}-\bar{x}}{2}$为x的半宽。对于两个区间数,其加法、减法运算定义为:

定义 2^[19]  设x=[x,${\bar{x}}$]、y=[y,${\bar y}$]为2个不同的区间数,则

定义 3^[20]  设x=[x,${\bar{x}}$]、y=[y,${\bar y}$]为2个不同的区间数,利用区间数的中点和半宽,可得到如下的满意度概念,即:如果m(y)≥m(x),则称函数λ:x×y→[0,+∞)为x$\prec$y的满意度,其中,x$\prec$y表示“x劣于y”,则

一般来说,如果λ(x$\prec$y)=0,则表示决策人不接受“x劣于y” 的论点;如果λ(x$\prec$y)∈(0,1),则决策人以满意度λ(x$\prec$y)接受“x劣于y”的论点;如果λ(x$\prec$y)≥1,则意味着决策人接受“x劣于y” 的论点。为了方便,后文将λ(x$\prec$y)简记为λ。

假定某一个多准则决策问题的方案集A由n个方案｛a₁,a₂,…,a_n｝组成,其中决策人能提供部分方案a_k1,a_k2,…,a_kn∈E⊂A的排序,需要对剩下方案B=A\E进行排序。所有方案都在l个准则C₁,C₂,…,C_l下进行评估,方案a_i在准则C_j下的指标值为区间数,记为［x_i,j,${\bar{x}}$_i,j]。

传统UTA方法的基本思想是根据决策人提供的部分方案的排序信息,假设每个准则下的效用函数都是分段线性函数,通过构造与决策人偏好信息尽可能一致的线性规划模型,计算出每个节点指标值的效用,然后再利用加性公式,得到剩下方案的排序。针对指标值均为区间数的多准则决策分类问题,结合传统的UTA方法,提出了一种新的处理方法。具体步骤如下:

(1) 计算各指标值效用区间

对于每个准则C_j(j=1,2,…,l),首先将C_j下所有方案指标值范围[x_jmin,x_jmax]区分成π_j-1个等值区间[z_i,j,z_i+1,j],且z_1j=x_jmin,z_πjj=x_jmax,其中x_jmin=$\underset{i}{\mathop{\min }}\,\left\{ {{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x}}}_{i,j}} \right\}$,x_jmax=$\underset{i}{\mathop{\max }}\,\left\{ {{{\bar{x}}}_{i,j}} \right\}$,j=1,2,…,l。若精确数b_j∈[z_i,j,z_i+1,j],则其效用值u_j(b_j)可用节点z_i,j,z_i+1,j的效用u_j(z_i,j),u_j(z_i+1,j)线性表示,即:

记u_i,j=u_j(z_i,j),u_bj=u_j(b_j),则式(3)可简化为:

对于区间数指标值,由于边际效用函数是单调非减的,所以只需利用区间数的端点,可计算出每一指标值的效用区间[u_bj,${\bar{u}}$_bj]。

(2) 计算各方案的效用区间

考虑到估计效用时,存在一定的误差,利用效用可加性,可得到方案b的效用值

对任一方案b∈E,利用式(1)和(5),估计出方案b的综合效用区间

(3) 计算各方案效用区间的中点、半宽

若a,b∈E,且方案a,b的综合效用区间分别为U(a)=[$\sum\limits_{j=1}^{l}{{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{u}}}_{aj}}}+{{\varepsilon }_{1b}},\sum\limits_{j=1}^{l}{{{{\bar{u}}}_{aj}}+{{\varepsilon }_{2b}}}$],U(b)=[$\sum\limits_{j=1}^{l}{{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{u}}}_{bj}}}+{{\varepsilon }_{1b}},\sum\limits_{j=1}^{l}{{{{\bar{u}}}_{bj}}+{{\varepsilon }_{2b}}}$],则可得中点分别为m(a)=$\frac{\sum\limits_{j=1}^{l}{\left( {{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{u}}}_{aj}}+{{{\bar{u}}}_{aj}} \right)}}{2}$+ε_a,m(b)=$\frac{\sum\limits_{j=1}^{l}{\left( {{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{u}}}_{bj}}+{{{\bar{u}}}_{bj}} \right)}}{2}$+ε_b;半宽分别为w(a)=$\frac{\sum\limits_{j=1}^{l}{\left( {{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{u}}}_{aj}}-{{{\bar{u}}}_{aj}} \right)}}{2}$+ε′_a,w(b)=$\frac{\sum\limits_{j=1}^{l}{\left( {{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{u}}}_{bj}}-{{{\bar{u}}}_{bj}} \right)}}{2}$+ε′_b,其中ε_a=$\frac{{{\varepsilon }_{1a}}+{{\varepsilon }_{2a}}}{2}$,ε_b=$\frac{{{\varepsilon }_{1b}}+{{\varepsilon }_{2b}}}{2}$,ε′_a=$\frac{{{\varepsilon }_{2a}}-{{\varepsilon }_{1a}}}{2}$,ε′_b=$\frac{{{\varepsilon }_{2b}}-{{\varepsilon }_{1b}}}{2}$。

(4) 建立各节点效用值模型

对于方案a,b∈E,若a～b,则可转换为m(a)-m(b)+ε_a-ε_b=0,w(a)-w(b)+ε′_a-ε′_b=0;若a$\prec$b,则根据式(2),决策人以一定的满意度λ(λ>0)接受a$\prec$b,m(b)-m(a)-λ(w(b)+w(a))+ε_b-ε_a≥δ,其中δ是一个很小的正常数(本文δ取0.000 1),以保证严格不等式m(b)-m(a)w(b)+w(a)>λ成立。于是,可构建如下的线性规划模型

(5) 再优化分析

模型(6)一般来说有多个最优解,通常需要进行再优化分析,传统的UTA方法是对所有指标权重u_πj,j极大化和极小化,然后取平均值作为最终节点的效用,需要求解2l个线性规划。文献^[21]指出这种方法产生的结果不稳定,提出采用规范化权重的标准差均值作为测度指标度量结果的稳定性,称为平均稳定性(Average Stability Index,ASI),但这种指标同样需要求解2m个线性规划,并且计算比较复杂。为了使结果相对稳定和不确定程度较小,可计算所有准则节点的平均效用方差

以D_z最小为一个二次目标,可构造如下的二次规划模型

(6) 待评方案的排序。

利用模型(8)中各节点的效用值,计算出每个待评方案的综合效用区间,进一步计算出这些区间数的中点和半宽,根据排序规则,对于方案a,b∈E,若$\frac{m\left( b \right)-m\left( a \right)}{w\left( b \right)+w\left( a \right)}$>λ,则决策人以满意度λ(λ>0)接受a$\prec$b;若m(a)=m(b),w(a)=w(b),则a～b;若m(a)=m(b),w(a)<w(b),则a$\prec$b,得到所有待评方案的排序。

考察一个信贷投资的决策问题,某投资银行计划在4家企业a₁,a₂,a₃和a₄中选择一家具有较大投资价值的企业进行投资。银行的信贷管理人员选取4个财务比率指标对这些公司评估,分别为税前收入/总资产(EBIT/TA)、净收入/资本净值(NI/NW)、总负债/总资产(TL/TA)、流动资产存货/流动负债((CA-I)/CL),其中EBIT/TA、NI/NW、(CA-I)/CL是效益型指标,而TL/TA是成本型指标。由于存在一定程度上的不确定性,银行通过调查与核算,得出的数据为区间数,见表1。根据以往的经验,可判断出参考集E (a₅,a₆,a₇,a₈,a₉∈E)中的一些偏好信息,即已知指标值在一定范围内的企业a₅,a₆,a₇,a₈,a₉的排序,见表2。

表1(Table 1)

表1 各准则下企业的区间数指标Table 1 The interval rates of enterprises under different criterion EBIT/TA NI/NW TL/TA (CA-I)/CL a1 [0.11 0.13] [0.08 0.10] [0.80 0.81] [0.84 0.85] a2 [0.12 0.13] [0.15 0.17] [0.71 0.73] [0.60 0.70] a3 [0.07 0.08] [0.08 0.10] [0.71 0.73] [0.82 1.20] a4 [0.10 0.15] [-0.07 0.24] [0.71 0.83] [0.85 2.85]

表1 各准则下企业的区间数指标 Table 1 The interval rates of enterprises under different criterion

表2(Table 2)

表2 参考集中各企业的区间数指标及排序Table 2 The interval rates and ranking of different enterprises in reference set EBIT/TA NI/NW TL/TA (CA-I)/CL 排序 a5 [0.08 0.13] [0.10 0.24] [0.33 0.34] [1.83 2.97] 1 a6 [0.11 0.15] [0.07 0.11] [0.72 0.84] [0.82 2.25] 2 a7 [0.10 0.14] [0.10 0.14] [0.71 0.82] [1.25 1.85] 2 a8 [0.07 0.12] [-0.30 0.08] [0.61 0.93] [0.60 1.70] 3 a9 [0.05 0.09] [-0.08 0.18] [0.40 0.80] [0.60 1.20] 4 [xjmin,xjmax] [0.05 0.15] [-0.30 0.24] [0.93 0.33] [0.60 2.97]

表2 参考集中各企业的区间数指标及排序 Table 2 The interval rates and ranking of different enterprises in reference set

首先,将每家企业看作不同的方案,可确定每个指标下企业指标值的范围,见表1。将指标EBIT/TA 4等分,指标NI/NW 4等分,指标TL/TA 3等分,指标(CA-I)/CL 2等分,可得EBIT/TA节点为:0.05,0.075,0.1,0.125,0.15;NI/NW节点为:-0.3,-0.165,-0.03,0.105,0.24;TL/TA节点为:0.93,0.73,0.53,0.33;(CA-I)/CL节点为:0.6,1.785,2.97;

其次,使用线性插值可得到每家企业在每一指标下的效用值范围,即效用区间[u_bj,${\bar{u}}$_bj],b∈E。进一步,利用式(5),可得5家企业的综合效用区间[V(b),${\bar{V}}$(b)],这些区间用每个节点的效用值u_i,j表示,u_i,j是未知变量。

再次,进一步计算出这些区间的中点和半宽;给定不同的λ值,引入未知的偏差变量ε_b,b∈E,根据模型(6),计算出表1中排序一致的估计误差总和;再根据模型(8),计算出每个指标下节点效用方差最小的最优解,该最优解作为每一个节点的效用值(表3给出了λ=0.3的计算结果)。

表3(Table 3)

表3 满意度λ=0.3下各节点的效用值Table 3 The utility values of different breakpoints when λ=0.3 EBIT/TA NI/NW TL/TA (CA-I)/CL ui,1 0 0 0 0 ui,2 0.284 3 0.001 0 0.001 0 0.224 8 ui,3 0.285 3 0.002 0 0.002 0 0.225 8 ui,4 0.553 2 0.116 7 0.100 2 ui,5 0.554 2 0.119 8

表3 满意度λ=0.3下各节点的效用值 Table 3 The utility values of different breakpoints when λ=0.3

最后,计算出每个待评企业的综合效用区间,进一步计算出这些区间数的中点和半宽,分别为:m₁=0.624 0,m₂=0.655 0,m₃=0.438 7,m₄=0.617 9;w₁=0.089 9,w₂=0.036 7,w₃=0.073 1,w₄=0.283 0;根据步骤(6)中的排序规则,得到待评企业排序为a₂$\succ$a₁$\succ$a₄$\succ$a₃。

利用已有方案排序的偏好信息对方案排序是一类重要的多准则决策方法,然而,传统的UTA方法及其变体只能求解指标值均为精确数的多准则决策问题,本文将其进行了扩展,使之能处理指标值均为区间数的情形。根据决策人的满意度水平,将区间数序关系转换为区间不等式,构建确定型的数学规划模型,并利用区间数的中点和半宽,得到待评方案的排序。当指标值退化为精确数时,本文的方法变成了传统的UTA方法;当指标值是区间数和精确数混合的情形时,可将精确数看作是两端点相同的区间数,再用本文提出的区间UTA方法计算。